Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97074 / 101888
↖ ↑ ↗
← S 70.140365°
E 86.621704°		 ← 103.76 m → S 70.140365°
E 86.624451°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
S 70.141297°
E 86.621704°		 ← 103.75 m →
10 762 m²		 S 70.141297°
E 86.624451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740619659423828 y=0.777347564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740619659423828 × 217)
    floor (0.740619659423828 × 131072)
    floor (97074.5)     		tx = 97074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777347564697266 × 217)
    floor (0.777347564697266 × 131072)
    floor (101888.5)     		ty = 101888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97074 / 101888 ti = "17/97074/101888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97074/101888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97074 ÷ 217
    97074 ÷ 131072     		x = 0.740615844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101888 ÷ 217
    101888 ÷ 131072     		y = 0.77734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740615844726562 × 2 - 1) × π
    0.481231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51183394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77734375 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51183394} λ = 1.51183394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74260217498828))-π/2
    2×atan(0.175064259557396)-π/2
    2×0.173308015857985-π/2
    0.34661603171597-1.57079632675     		φ = -1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51183394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.621704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97074 KachelY 101888 1.51183394 -1.22418030 86.621704 -70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 97075 KachelY 101888 1.51188188 -1.22418030 86.624451 -70.140365
    Unten links KachelX 97074 KachelY + 1 101889 1.51183394 -1.22419658 86.621704 -70.141297
    Unten rechts KachelX + 1 97075 KachelY + 1 101889 1.51188188 -1.22419658 86.624451 -70.141297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22418030--1.22419658) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dl = 103.719880000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22418030--1.22419658) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dr = 103.719880000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51183394-1.51188188) × cos(-1.22418030) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 103.758327760132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51183394-1.51188188) × cos(-1.22419658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339701726290066 × 6371000     		du = 103.753651131353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22418030)-sin(-1.22419658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.339701726290066)×R²
    abs(1.51188188-1.51183394)×1.53118357973381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53118357973381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53118357973381e-05×40589641000000     		ar = 10761.5587749341m²