Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97066 / 101830
↖ ↑ ↗
← S 70.086176°
E 86.599732°		 ← 104.01 m → S 70.086176°
E 86.602478°		 →
↑
104.04 m
↓
↑
104.04 m
↓
S 70.087112°
E 86.599732°		 ← 104 m →
10 821 m²		 S 70.087112°
E 86.602478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740558624267578 y=0.776905059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740558624267578 × 217)
    floor (0.740558624267578 × 131072)
    floor (97066.5)     		tx = 97066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776905059814453 × 217)
    floor (0.776905059814453 × 131072)
    floor (101830.5)     		ty = 101830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97066 / 101830 ti = "17/97066/101830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97066/101830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97066 ÷ 217
    97066 ÷ 131072     		x = 0.740554809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101830 ÷ 217
    101830 ÷ 131072     		y = 0.776901245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740554809570312 × 2 - 1) × π
    0.481109619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.51145045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776901245117188 × 2 - 1) × π
    -0.553802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73982183481032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51145045} λ = 1.51145045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73982183481032))-π/2
    2×atan(0.175551675028389)-π/2
    2×0.173780898280385-π/2
    0.347561796560769-1.57079632675     		φ = -1.22323453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51145045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.599732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22323453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.086176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97066 KachelY 101830 1.51145045 -1.22323453 86.599732 -70.086176
    Oben rechts KachelX + 1 97067 KachelY 101830 1.51149838 -1.22323453 86.602478 -70.086176
    Unten links KachelX 97066 KachelY + 1 101831 1.51145045 -1.22325086 86.599732 -70.087112
    Unten rechts KachelX + 1 97067 KachelY + 1 101831 1.51149838 -1.22325086 86.602478 -70.087112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22323453--1.22325086) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dl = 104.038430000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22323453--1.22325086) × R
    1.63300000000088e-05 × 6371000     		dr = 104.038430000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51145045-1.51149838) × cos(-1.22323453) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340606408930607 × 6371000     		do = 104.008264462124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51145045-1.51149838) × cos(-1.22325086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340591055321632 × 6371000     		du = 104.003576052919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22323453)-sin(-1.22325086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340606408930607-0.340591055321632)×R²
    abs(1.51149838-1.51145045)×1.53536089749773e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53536089749773e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53536089749773e-05×40589641000000     		ar = 10820.6126547318m²