Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9706 / 7146
↖ ↑ ↗
← N 22.390714°
E 33.266602°		 ← 2 259.02 m → N 22.390714°
E 33.288574°		 →
↑
2 259.22 m
↓
↑
2 259.22 m
↓
N 22.370396°
E 33.266602°		 ← 2 259.35 m →
5 103 986 m²		 N 22.370396°
E 33.288574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592437744140625 y=0.436187744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592437744140625 × 214)
    floor (0.592437744140625 × 16384)
    floor (9706.5)     		tx = 9706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436187744140625 × 214)
    floor (0.436187744140625 × 16384)
    floor (7146.5)     		ty = 7146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9706 / 7146 ti = "14/9706/7146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9706/7146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9706 ÷ 214
    9706 ÷ 16384     		x = 0.5924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7146 ÷ 214
    7146 ÷ 16384     		y = 0.4361572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5924072265625 × 2 - 1) × π
    0.184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58061173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4361572265625 × 2 - 1) × π
    0.127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40113597602063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58061173} λ = 0.58061173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40113597602063))-π/2
    2×atan(1.49352033764562)-π/2
    2×0.980794003252622-π/2
    1.96158800650524-1.57079632675     		φ = 0.39079168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58061173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.266602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39079168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.390714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9706 KachelY 7146 0.58061173 0.39079168 33.266602 22.390714
    Oben rechts KachelX + 1 9707 KachelY 7146 0.58099522 0.39079168 33.288574 22.390714
    Unten links KachelX 9706 KachelY + 1 7147 0.58061173 0.39043707 33.266602 22.370396
    Unten rechts KachelX + 1 9707 KachelY + 1 7147 0.58099522 0.39043707 33.288574 22.370396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39079168-0.39043707) × R
    0.000354609999999977 × 6371000     		dl = 2259.22030999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39079168-0.39043707) × R
    0.000354609999999977 × 6371000     		dr = 2259.22030999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58061173-0.58099522) × cos(0.39079168) × R
    0.000383490000000042 × 0.924607782477568 × 6371000     		do = 2259.01540909854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58061173-0.58099522) × cos(0.39043707) × R
    0.000383490000000042 × 0.924742802569233 × 6371000     		du = 2259.34529218345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39079168)-sin(0.39043707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.924607782477568-0.924742802569233)×R²
    abs(0.58099522-0.58061173)×0.000135020091664995×R²
    0.000383490000000042×0.000135020091664995×6371000²
    0.000383490000000042×0.000135020091664995×40589641000000     		ar = 5103986.18560496m²