Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9706 / 10539
↖ ↑ ↗
← S 45.752193°
E 33.266602°		 ← 1 704.78 m → S 45.752193°
E 33.288574°		 →
↑
1 704.62 m
↓
↑
1 704.62 m
↓
S 45.767523°
E 33.266602°		 ← 1 704.32 m →
2 905 620 m²		 S 45.767523°
E 33.288574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592437744140625 y=0.643280029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592437744140625 × 214)
    floor (0.592437744140625 × 16384)
    floor (9706.5)     		tx = 9706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643280029296875 × 214)
    floor (0.643280029296875 × 16384)
    floor (10539.5)     		ty = 10539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9706 / 10539 ti = "14/9706/10539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9706/10539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9706 ÷ 214
    9706 ÷ 16384     		x = 0.5924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10539 ÷ 214
    10539 ÷ 16384     		y = 0.64324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5924072265625 × 2 - 1) × π
    0.184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58061173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.2864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.900063227266174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58061173} λ = 0.58061173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.900063227266174))-π/2
    2×atan(0.406543954265156)-π/2
    2×0.386134956330373-π/2
    0.772269912660746-1.57079632675     		φ = -0.79852641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58061173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.266602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79852641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.752193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9706 KachelY 10539 0.58061173 -0.79852641 33.266602 -45.752193
    Oben rechts KachelX + 1 9707 KachelY 10539 0.58099522 -0.79852641 33.288574 -45.752193
    Unten links KachelX 9706 KachelY + 1 10540 0.58061173 -0.79879397 33.266602 -45.767523
    Unten rechts KachelX + 1 9707 KachelY + 1 10540 0.58099522 -0.79879397 33.288574 -45.767523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79852641--0.79879397) × R
    0.000267559999999945 × 6371000     		dl = 1704.62475999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79852641--0.79879397) × R
    0.000267559999999945 × 6371000     		dr = 1704.62475999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58061173-0.58099522) × cos(-0.79852641) × R
    0.000383490000000042 × 0.697763041288735 × 6371000     		do = 1704.7849823922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58061173-0.58099522) × cos(-0.79879397) × R
    0.000383490000000042 × 0.697571355420939 × 6371000     		du = 1704.31665264497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79852641)-sin(-0.79879397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.697763041288735-0.697571355420939)×R²
    abs(0.58099522-0.58061173)×0.000191685867795721×R²
    0.000383490000000042×0.000191685867795721×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191685867795721×40589641000000     		ar = 2905619.54555238m²