Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97058 / 101855
↖ ↑ ↗
← S 70.109550°
E 86.577759°		 ← 103.91 m → S 70.109550°
E 86.580506°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
S 70.110485°
E 86.577759°		 ← 103.91 m →
10 797 m²		 S 70.110485°
E 86.580506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740497589111328 y=0.777095794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740497589111328 × 217)
    floor (0.740497589111328 × 131072)
    floor (97058.5)     		tx = 97058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777095794677734 × 217)
    floor (0.777095794677734 × 131072)
    floor (101855.5)     		ty = 101855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97058 / 101855 ti = "17/97058/101855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97058/101855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97058 ÷ 217
    97058 ÷ 131072     		x = 0.740493774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101855 ÷ 217
    101855 ÷ 131072     		y = 0.777091979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740493774414062 × 2 - 1) × π
    0.480987548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.51106695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777091979980469 × 2 - 1) × π
    -0.554183959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.74102025730082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51106695} λ = 1.51106695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74102025730082))-π/2
    2×atan(0.175341415967548)-π/2
    2×0.173576918036121-π/2
    0.347153836072243-1.57079632675     		φ = -1.22364249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51106695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.577759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22364249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.109550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97058 KachelY 101855 1.51106695 -1.22364249 86.577759 -70.109550
    Oben rechts KachelX + 1 97059 KachelY 101855 1.51111489 -1.22364249 86.580506 -70.109550
    Unten links KachelX 97058 KachelY + 1 101856 1.51106695 -1.22365880 86.577759 -70.110485
    Unten rechts KachelX + 1 97059 KachelY + 1 101856 1.51111489 -1.22365880 86.580506 -70.110485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22364249--1.22365880) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dl = 103.911009999416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22364249--1.22365880) × R
    1.63099999999083e-05 × 6371000     		dr = 103.911009999416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51106695-1.51111489) × cos(-1.22364249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340222814168158 × 6371000     		do = 103.912804782124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51106695-1.51111489) × cos(-1.22365880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340207477098405 × 6371000     		du = 103.908120446245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22364249)-sin(-1.22365880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340222814168158-0.340207477098405)×R²
    abs(1.51111489-1.51106695)×1.53370697533739e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53370697533739e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53370697533739e-05×40589641000000     		ar = 10797.4411199979m²