Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9705 / 7129
↖ ↑ ↗
← N 22.735657°
E 33.244629°		 ← 2 253.43 m → N 22.735657°
E 33.266602°		 →
↑
2 253.55 m
↓
↑
2 253.55 m
↓
N 22.715390°
E 33.244629°		 ← 2 253.76 m →
5 078 594 m²		 N 22.715390°
E 33.266602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592376708984375 y=0.435150146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592376708984375 × 214)
    floor (0.592376708984375 × 16384)
    floor (9705.5)     		tx = 9705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435150146484375 × 214)
    floor (0.435150146484375 × 16384)
    floor (7129.5)     		ty = 7129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9705 / 7129 ti = "14/9705/7129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9705/7129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9705 ÷ 214
    9705 ÷ 16384     		x = 0.59234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7129 ÷ 214
    7129 ÷ 16384     		y = 0.43511962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59234619140625 × 2 - 1) × π
    0.1846923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58022823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43511962890625 × 2 - 1) × π
    0.1297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.407655394368958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58022823} λ = 0.58022823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407655394368958))-π/2
    2×atan(1.50328903003495)-π/2
    2×0.983804198229382-π/2
    1.96760839645876-1.57079632675     		φ = 0.39681207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58022823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39681207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.735657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9705 KachelY 7129 0.58022823 0.39681207 33.244629 22.735657
    Oben rechts KachelX + 1 9706 KachelY 7129 0.58061173 0.39681207 33.266602 22.735657
    Unten links KachelX 9705 KachelY + 1 7130 0.58022823 0.39645835 33.244629 22.715390
    Unten rechts KachelX + 1 9706 KachelY + 1 7130 0.58061173 0.39645835 33.266602 22.715390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39681207-0.39645835) × R
    0.000353720000000002 × 6371000     		dl = 2253.55012000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39681207-0.39645835) × R
    0.000353720000000002 × 6371000     		dr = 2253.55012000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58022823-0.58061173) × cos(0.39681207) × R
    0.000383499999999981 × 0.922297749995756 × 6371000     		do = 2253.43026316289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58022823-0.58061173) × cos(0.39645835) × R
    0.000383499999999981 × 0.922434398032567 × 6371000     		du = 2253.7641323733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39681207)-sin(0.39645835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922297749995756-0.922434398032567)×R²
    abs(0.58061173-0.58022823)×0.000136648036811127×R²
    0.000383499999999981×0.000136648036811127×6371000²
    0.000383499999999981×0.000136648036811127×40589641000000     		ar = 5078594.28841389m²