Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9705 / 10454
↖ ↑ ↗
← S 44.433780°
E 33.244629°		 ← 1 744.65 m → S 44.433780°
E 33.266602°		 →
↑
1 744.38 m
↓
↑
1 744.38 m
↓
S 44.449468°
E 33.244629°		 ← 1 744.18 m →
3 042 919 m²		 S 44.449468°
E 33.266602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592376708984375 y=0.638092041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592376708984375 × 214)
    floor (0.592376708984375 × 16384)
    floor (9705.5)     		tx = 9705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638092041015625 × 214)
    floor (0.638092041015625 × 16384)
    floor (10454.5)     		ty = 10454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9705 / 10454 ti = "14/9705/10454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9705/10454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9705 ÷ 214
    9705 ÷ 16384     		x = 0.59234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10454 ÷ 214
    10454 ÷ 16384     		y = 0.6380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59234619140625 × 2 - 1) × π
    0.1846923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.58022823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6380615234375 × 2 - 1) × π
    -0.276123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.867466135524536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58022823} λ = 0.58022823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.867466135524536))-π/2
    2×atan(0.420014461764652)-π/2
    2×0.397640284696206-π/2
    0.795280569392411-1.57079632675     		φ = -0.77551576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58022823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.244629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77551576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.433780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9705 KachelY 10454 0.58022823 -0.77551576 33.244629 -44.433780
    Oben rechts KachelX + 1 9706 KachelY 10454 0.58061173 -0.77551576 33.266602 -44.433780
    Unten links KachelX 9705 KachelY + 1 10455 0.58022823 -0.77578956 33.244629 -44.449468
    Unten rechts KachelX + 1 9706 KachelY + 1 10455 0.58061173 -0.77578956 33.266602 -44.449468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77551576--0.77578956) × R
    0.000273799999999991 × 6371000     		dl = 1744.37979999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77551576--0.77578956) × R
    0.000273799999999991 × 6371000     		dr = 1744.37979999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58022823-0.58061173) × cos(-0.77551576) × R
    0.000383499999999981 × 0.714060053487922 × 6371000     		do = 1744.6475763958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58022823-0.58061173) × cos(-0.77578956) × R
    0.000383499999999981 × 0.713868343602074 × 6371000     		du = 1744.17917575347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77551576)-sin(-0.77578956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.714060053487922-0.713868343602074)×R²
    abs(0.58061173-0.58022823)×0.000191709885848268×R²
    0.000383499999999981×0.000191709885848268×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191709885848268×40589641000000     		ar = 3042919.47508401m²