Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97048 / 101886
↖ ↑ ↗
← S 70.138498°
E 86.550293°		 ← 103.77 m → S 70.138498°
E 86.553040°		 →
↑
103.78 m
↓
↑
103.78 m
↓
S 70.139431°
E 86.550293°		 ← 103.76 m →
10 769 m²		 S 70.139431°
E 86.553040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740421295166016 y=0.777332305908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740421295166016 × 217)
    floor (0.740421295166016 × 131072)
    floor (97048.5)     		tx = 97048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777332305908203 × 217)
    floor (0.777332305908203 × 131072)
    floor (101886.5)     		ty = 101886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97048 / 101886 ti = "17/97048/101886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97048/101886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97048 ÷ 217
    97048 ÷ 131072     		x = 0.74041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101886 ÷ 217
    101886 ÷ 131072     		y = 0.777328491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74041748046875 × 2 - 1) × π
    0.4808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.51058758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777328491210938 × 2 - 1) × π
    -0.554656982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74250630118904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51058758} λ = 1.51058758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74250630118904))-π/2
    2×atan(0.175081044437673)-π/2
    2×0.173324301574006-π/2
    0.346648603148013-1.57079632675     		φ = -1.22414772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51058758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.550293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22414772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.138498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97048 KachelY 101886 1.51058758 -1.22414772 86.550293 -70.138498
    Oben rechts KachelX + 1 97049 KachelY 101886 1.51063552 -1.22414772 86.553040 -70.138498
    Unten links KachelX 97048 KachelY + 1 101887 1.51058758 -1.22416401 86.550293 -70.139431
    Unten rechts KachelX + 1 97049 KachelY + 1 101887 1.51063552 -1.22416401 86.553040 -70.139431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22414772--1.22416401) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dl = 103.78359000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22414772--1.22416401) × R
    1.62900000000299e-05 × 6371000     		dr = 103.78359000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51058758-1.51063552) × cos(-1.22414772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339747680337672 × 6371000     		do = 103.767686680349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51058758-1.51063552) × cos(-1.22416401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339732359276844 × 6371000     		du = 103.763007234008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22414772)-sin(-1.22416401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339747680337672-0.339732359276844)×R²
    abs(1.51063552-1.51058758)×1.53210608280219e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53210608280219e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53210608280219e-05×40589641000000     		ar = 10769.14022506m²