Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97045 / 102003
↖ ↑ ↗
← S 70.247388°
E 86.542053°		 ← 103.22 m → S 70.247388°
E 86.544800°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
S 70.248317°
E 86.542053°		 ← 103.22 m →
10 653 m²		 S 70.248317°
E 86.544800°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740398406982422 y=0.778224945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740398406982422 × 217)
    floor (0.740398406982422 × 131072)
    floor (97045.5)     		tx = 97045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778224945068359 × 217)
    floor (0.778224945068359 × 131072)
    floor (102003.5)     		ty = 102003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97045 / 102003 ti = "17/97045/102003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97045/102003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97045 ÷ 217
    97045 ÷ 131072     		x = 0.740394592285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102003 ÷ 217
    102003 ÷ 131072     		y = 0.778221130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740394592285156 × 2 - 1) × π
    0.480789184570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.51044377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778221130371094 × 2 - 1) × π
    -0.556442260742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.74811491844459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51044377} λ = 1.51044377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74811491844459))-π/2
    2×atan(0.174101830455831)-π/2
    2×0.172374053288907-π/2
    0.344748106577814-1.57079632675     		φ = -1.22604822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51044377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.542053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22604822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.247388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97045 KachelY 102003 1.51044377 -1.22604822 86.542053 -70.247388
    Oben rechts KachelX + 1 97046 KachelY 102003 1.51049171 -1.22604822 86.544800 -70.247388
    Unten links KachelX 97045 KachelY + 1 102004 1.51044377 -1.22606442 86.542053 -70.248317
    Unten rechts KachelX + 1 97046 KachelY + 1 102004 1.51049171 -1.22606442 86.544800 -70.248317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22604822--1.22606442) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dl = 103.210199999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22604822--1.22606442) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dr = 103.210199999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51044377-1.51049171) × cos(-1.22604822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337959616008976 × 6371000     		do = 103.22156580959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51044377-1.51049171) × cos(-1.22606442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337944369162712 × 6371000     		du = 103.216909030287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22604822)-sin(-1.22606442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337959616008976-0.337944369162712)×R²
    abs(1.51049171-1.51044377)×1.52468462638611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52468462638611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52468462638611e-05×40589641000000     		ar = 10653.2781381169m²