Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97043 / 101981
↖ ↑ ↗
← S 70.226957°
E 86.536560°		 ← 103.30 m → S 70.226957°
E 86.539306°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
S 70.227886°
E 86.536560°		 ← 103.30 m →
10 668 m²		 S 70.227886°
E 86.539306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740383148193359 y=0.778057098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740383148193359 × 217)
    floor (0.740383148193359 × 131072)
    floor (97043.5)     		tx = 97043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778057098388672 × 217)
    floor (0.778057098388672 × 131072)
    floor (101981.5)     		ty = 101981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97043 / 101981 ti = "17/97043/101981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97043/101981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97043 ÷ 217
    97043 ÷ 131072     		x = 0.740379333496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101981 ÷ 217
    101981 ÷ 131072     		y = 0.778053283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740379333496094 × 2 - 1) × π
    0.480758666992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.51034790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778053283691406 × 2 - 1) × π
    -0.556106567382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.74706030665295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51034790} λ = 1.51034790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74706030665295))-π/2
    2×atan(0.174285537151774)-π/2
    2×0.172552349853393-π/2
    0.345104699706787-1.57079632675     		φ = -1.22569163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51034790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.536560°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22569163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.226957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97043 KachelY 101981 1.51034790 -1.22569163 86.536560 -70.226957
    Oben rechts KachelX + 1 97044 KachelY 101981 1.51039583 -1.22569163 86.539306 -70.226957
    Unten links KachelX 97043 KachelY + 1 101982 1.51034790 -1.22570784 86.536560 -70.227886
    Unten rechts KachelX + 1 97044 KachelY + 1 101982 1.51039583 -1.22570784 86.539306 -70.227886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22569163--1.22570784) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22569163--1.22570784) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51034790-1.51039583) × cos(-1.22569163) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338295202977697 × 6371000     		do = 103.302509920595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51034790-1.51039583) × cos(-1.22570784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338279948674214 × 6371000     		du = 103.297851835517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22569163)-sin(-1.22570784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338295202977697-0.338279948674214)×R²
    abs(1.51039583-1.51034790)×1.52543034830366e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52543034830366e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52543034830366e-05×40589641000000     		ar = 10668.213583402m²