Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9704 / 7130
↖ ↑ ↗
← N 22.715390°
E 33.222656°		 ← 2 253.71 m → N 22.715390°
E 33.244629°		 →
↑
2 253.93 m
↓
↑
2 253.93 m
↓
N 22.695120°
E 33.222656°		 ← 2 254.04 m →
5 080 076 m²		 N 22.695120°
E 33.244629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592315673828125 y=0.435211181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592315673828125 × 214)
    floor (0.592315673828125 × 16384)
    floor (9704.5)     		tx = 9704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435211181640625 × 214)
    floor (0.435211181640625 × 16384)
    floor (7130.5)     		ty = 7130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9704 / 7130 ti = "14/9704/7130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9704/7130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9704 ÷ 214
    9704 ÷ 16384     		x = 0.59228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7130 ÷ 214
    7130 ÷ 16384     		y = 0.4351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59228515625 × 2 - 1) × π
    0.1845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57984474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4351806640625 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.407271899171997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57984474} λ = 0.57984474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.407271899171997))-π/2
    2×atan(1.50271263644144)-π/2
    2×0.983627336748115-π/2
    1.96725467349623-1.57079632675     		φ = 0.39645835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57984474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.222656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39645835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.715390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9704 KachelY 7130 0.57984474 0.39645835 33.222656 22.715390
    Oben rechts KachelX + 1 9705 KachelY 7130 0.58022823 0.39645835 33.244629 22.715390
    Unten links KachelX 9704 KachelY + 1 7131 0.57984474 0.39610457 33.222656 22.695120
    Unten rechts KachelX + 1 9705 KachelY + 1 7131 0.58022823 0.39610457 33.244629 22.695120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39645835-0.39610457) × R
    0.000353780000000026 × 6371000     		dl = 2253.93238000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39645835-0.39610457) × R
    0.000353780000000026 × 6371000     		dr = 2253.93238000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57984474-0.58022823) × cos(0.39645835) × R
    0.000383490000000042 × 0.922434398032567 × 6371000     		do = 2253.70536407816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57984474-0.58022823) × cos(0.39610457) × R
    0.000383490000000042 × 0.922570953806031 × 6371000     		du = 2254.03899916355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39645835)-sin(0.39610457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922434398032567-0.922570953806031)×R²
    abs(0.58022823-0.57984474)×0.000136555773464053×R²
    0.000383490000000042×0.000136555773464053×6371000²
    0.000383490000000042×0.000136555773464053×40589641000000     		ar = 5080075.54352263m²