Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 97039 / 101960
↖ ↑ ↗
← S 70.207436°
E 86.525574°		 ← 103.42 m → S 70.207436°
E 86.528321°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
S 70.208365°
E 86.525574°		 ← 103.42 m →
10 694 m²		 S 70.208365°
E 86.528321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740352630615234 y=0.777896881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740352630615234 × 217)
    floor (0.740352630615234 × 131072)
    floor (97039.5)     		tx = 97039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777896881103516 × 217)
    floor (0.777896881103516 × 131072)
    floor (101960.5)     		ty = 101960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97039 / 101960 ti = "17/97039/101960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97039/101960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97039 ÷ 217
    97039 ÷ 131072     		x = 0.740348815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101960 ÷ 217
    101960 ÷ 131072     		y = 0.77789306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740348815917969 × 2 - 1) × π
    0.480697631835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.51015615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77789306640625 × 2 - 1) × π
    -0.5557861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74605363176093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51015615} λ = 1.51015615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74605363176093))-π/2
    2×atan(0.174461074365696)-π/2
    2×0.172722707173769-π/2
    0.345445414347538-1.57079632675     		φ = -1.22535091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51015615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.525574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22535091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97039 KachelY 101960 1.51015615 -1.22535091 86.525574 -70.207436
    Oben rechts KachelX + 1 97040 KachelY 101960 1.51020409 -1.22535091 86.528321 -70.207436
    Unten links KachelX 97039 KachelY + 1 101961 1.51015615 -1.22536714 86.525574 -70.208365
    Unten rechts KachelX + 1 97040 KachelY + 1 101961 1.51020409 -1.22536714 86.528321 -70.208365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22535091--1.22536714) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dl = 103.401329999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22535091--1.22536714) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dr = 103.401329999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51015615-1.51020409) × cos(-1.22535091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338615814497333 × 6371000     		do = 103.421985718483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51015615-1.51020409) × cos(-1.22536714) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338600543244518 × 6371000     		du = 103.417321484791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22535091)-sin(-1.22536714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338615814497333-0.338600543244518)×R²
    abs(1.51020409-1.51015615)×1.52712528154186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52712528154186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52712528154186e-05×40589641000000     		ar = 10693.7297309001m²