Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 97038 / 101959
↖ ↑ ↗
← S 70.206506°
E 86.522827°		 ← 103.43 m → S 70.206506°
E 86.525574°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
S 70.207436°
E 86.522827°		 ← 103.42 m →
10 694 m²		 S 70.207436°
E 86.525574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 97038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740345001220703 y=0.777889251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740345001220703 × 217)
    floor (0.740345001220703 × 131072)
    floor (97038.5)     		tx = 97038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777889251708984 × 217)
    floor (0.777889251708984 × 131072)
    floor (101959.5)     		ty = 101959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 97038 / 101959 ti = "17/97038/101959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/97038/101959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 97038 ÷ 217
    97038 ÷ 131072     		x = 0.740341186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101959 ÷ 217
    101959 ÷ 131072     		y = 0.777885437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740341186523438 × 2 - 1) × π
    0.480682373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.51010821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777885437011719 × 2 - 1) × π
    -0.555770874023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.74600569486131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.51010821} λ = 1.51010821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74600569486131))-π/2
    2×atan(0.17446943768916)-π/2
    2×0.172730823452909-π/2
    0.345461646905819-1.57079632675     		φ = -1.22533468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.51010821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.522827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22533468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.206506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 97038 KachelY 101959 1.51010821 -1.22533468 86.522827 -70.206506
    Oben rechts KachelX + 1 97039 KachelY 101959 1.51015615 -1.22533468 86.525574 -70.206506
    Unten links KachelX 97038 KachelY + 1 101960 1.51010821 -1.22535091 86.522827 -70.207436
    Unten rechts KachelX + 1 97039 KachelY + 1 101960 1.51015615 -1.22535091 86.525574 -70.207436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22533468--1.22535091) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dl = 103.401329999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22533468--1.22535091) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dr = 103.401329999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.51010821-1.51015615) × cos(-1.22533468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338631085660953 × 6371000     		do = 103.426649924932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.51010821-1.51015615) × cos(-1.22535091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338615814497333 × 6371000     		du = 103.421985718483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22533468)-sin(-1.22535091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338631085660953-0.338615814497333)×R²
    abs(1.51015615-1.51010821)×1.52711636196012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52711636196012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52711636196012e-05×40589641000000     		ar = 10694.2120173007m²