Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9703 / 10457
↖ ↑ ↗
← S 44.480830°
E 33.200683°		 ← 1 743.24 m → S 44.480830°
E 33.222656°		 →
↑
1 742.98 m
↓
↑
1 742.98 m
↓
S 44.496505°
E 33.200683°		 ← 1 742.77 m →
3 038 025 m²		 S 44.496505°
E 33.222656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592254638671875 y=0.638275146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592254638671875 × 214)
    floor (0.592254638671875 × 16384)
    floor (9703.5)     		tx = 9703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638275146484375 × 214)
    floor (0.638275146484375 × 16384)
    floor (10457.5)     		ty = 10457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9703 / 10457 ti = "14/9703/10457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9703/10457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9703 ÷ 214
    9703 ÷ 16384     		x = 0.59222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10457 ÷ 214
    10457 ÷ 16384     		y = 0.63824462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59222412109375 × 2 - 1) × π
    0.1844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57946124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63824462890625 × 2 - 1) × π
    -0.2764892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.868616621115417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57946124} λ = 0.57946124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.868616621115417))-π/2
    2×atan(0.419531519041022)-π/2
    2×0.397229692215453-π/2
    0.794459384430906-1.57079632675     		φ = -0.77633694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57946124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.200683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77633694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.480830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9703 KachelY 10457 0.57946124 -0.77633694 33.200683 -44.480830
    Oben rechts KachelX + 1 9704 KachelY 10457 0.57984474 -0.77633694 33.222656 -44.480830
    Unten links KachelX 9703 KachelY + 1 10458 0.57946124 -0.77661052 33.200683 -44.496505
    Unten rechts KachelX + 1 9704 KachelY + 1 10458 0.57984474 -0.77661052 33.222656 -44.496505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77633694--0.77661052) × R
    0.000273579999999995 × 6371000     		dl = 1742.97817999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77633694--0.77661052) × R
    0.000273579999999995 × 6371000     		dr = 1742.97817999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57946124-0.57984474) × cos(-0.77633694) × R
    0.000383499999999981 × 0.713484917443796 × 6371000     		do = 1743.24235886462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57946124-0.57984474) × cos(-0.77661052) × R
    0.000383499999999981 × 0.71329320128603 × 6371000     		du = 1742.77394289824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77633694)-sin(-0.77661052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713484917443796-0.71329320128603)×R²
    abs(0.57984474-0.57946124)×0.000191716157765476×R²
    0.000383499999999981×0.000191716157765476×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191716157765476×40589641000000     		ar = 3038025.19349661m²