Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9702 / 7258
↖ ↑ ↗
← N 20.097206°
E 33.178711°		 ← 2 294.45 m → N 20.097206°
E 33.200683°		 →
↑
2 294.64 m
↓
↑
2 294.64 m
↓
N 20.076570°
E 33.178711°		 ← 2 294.75 m →
5 265 290 m²		 N 20.076570°
E 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592193603515625 y=0.443023681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592193603515625 × 214)
    floor (0.592193603515625 × 16384)
    floor (9702.5)     		tx = 9702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443023681640625 × 214)
    floor (0.443023681640625 × 16384)
    floor (7258.5)     		ty = 7258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9702 / 7258 ti = "14/9702/7258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9702/7258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9702 ÷ 214
    9702 ÷ 16384     		x = 0.5921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7258 ÷ 214
    7258 ÷ 16384     		y = 0.4429931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57907775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4429931640625 × 2 - 1) × π
    0.114013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35818451396106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57907775} λ = 0.57907775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35818451396106))-π/2
    2×atan(1.43072958570958)-π/2
    2×0.960779372950102-π/2
    1.9215587459002-1.57079632675     		φ = 0.35076242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57907775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.178711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35076242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.097206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9702 KachelY 7258 0.57907775 0.35076242 33.178711 20.097206
    Oben rechts KachelX + 1 9703 KachelY 7258 0.57946124 0.35076242 33.200683 20.097206
    Unten links KachelX 9702 KachelY + 1 7259 0.57907775 0.35040225 33.178711 20.076570
    Unten rechts KachelX + 1 9703 KachelY + 1 7259 0.57946124 0.35040225 33.200683 20.076570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35076242-0.35040225) × R
    0.000360169999999993 × 6371000     		dl = 2294.64306999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35076242-0.35040225) × R
    0.000360169999999993 × 6371000     		dr = 2294.64306999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57907775-0.57946124) × cos(0.35076242) × R
    0.000383490000000042 × 0.939111007705075 × 6371000     		do = 2294.44990347709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57907775-0.57946124) × cos(0.35040225) × R
    0.000383490000000042 × 0.93923470621042 × 6371000     		du = 2294.75212549485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35076242)-sin(0.35040225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939111007705075-0.93923470621042)×R²
    abs(0.57946124-0.57907775)×0.000123698505345105×R²
    0.000383490000000042×0.000123698505345105×6371000²
    0.000383490000000042×0.000123698505345105×40589641000000     		ar = 5265290.37322358m²