Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9702 / 7174
↖ ↑ ↗
← N 21.820708°
E 33.178711°		 ← 2 268.16 m → N 21.820708°
E 33.200683°		 →
↑
2 268.39 m
↓
↑
2 268.39 m
↓
N 21.800308°
E 33.178711°		 ← 2 268.49 m →
5 145 453 m²		 N 21.800308°
E 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592193603515625 y=0.437896728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592193603515625 × 214)
    floor (0.592193603515625 × 16384)
    floor (9702.5)     		tx = 9702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437896728515625 × 214)
    floor (0.437896728515625 × 16384)
    floor (7174.5)     		ty = 7174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9702 / 7174 ti = "14/9702/7174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9702/7174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9702 ÷ 214
    9702 ÷ 16384     		x = 0.5921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7174 ÷ 214
    7174 ÷ 16384     		y = 0.4378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57907775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4378662109375 × 2 - 1) × π
    0.124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.390398110505737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57907775} λ = 0.57907775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.390398110505737))-π/2
    2×atan(1.47756891251379)-π/2
    2×0.975819761975221-π/2
    1.95163952395044-1.57079632675     		φ = 0.38084320
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57907775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.178711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38084320 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.820708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9702 KachelY 7174 0.57907775 0.38084320 33.178711 21.820708
    Oben rechts KachelX + 1 9703 KachelY 7174 0.57946124 0.38084320 33.200683 21.820708
    Unten links KachelX 9702 KachelY + 1 7175 0.57907775 0.38048715 33.178711 21.800308
    Unten rechts KachelX + 1 9703 KachelY + 1 7175 0.57946124 0.38048715 33.200683 21.800308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38084320-0.38048715) × R
    0.000356049999999997 × 6371000     		dl = 2268.39454999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38084320-0.38048715) × R
    0.000356049999999997 × 6371000     		dr = 2268.39454999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57907775-0.57946124) × cos(0.38084320) × R
    0.000383490000000042 × 0.928351545339893 × 6371000     		do = 2268.16222589403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57907775-0.57946124) × cos(0.38048715) × R
    0.000383490000000042 × 0.928483831483904 × 6371000     		du = 2268.48542935759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38084320)-sin(0.38048715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928351545339893-0.928483831483904)×R²
    abs(0.57946124-0.57907775)×0.000132286144010507×R²
    0.000383490000000042×0.000132286144010507×6371000²
    0.000383490000000042×0.000132286144010507×40589641000000     		ar = 5145453.46257994m²