Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9702 / 7134
↖ ↑ ↗
← N 22.634293°
E 33.178711°		 ← 2 255.04 m → N 22.634293°
E 33.200683°		 →
↑
2 255.21 m
↓
↑
2 255.21 m
↓
N 22.614011°
E 33.178711°		 ← 2 255.37 m →
5 085 953 m²		 N 22.614011°
E 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592193603515625 y=0.435455322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592193603515625 × 214)
    floor (0.592193603515625 × 16384)
    floor (9702.5)     		tx = 9702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435455322265625 × 214)
    floor (0.435455322265625 × 16384)
    floor (7134.5)     		ty = 7134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9702 / 7134 ti = "14/9702/7134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9702/7134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9702 ÷ 214
    9702 ÷ 16384     		x = 0.5921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7134 ÷ 214
    7134 ÷ 16384     		y = 0.4354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57907775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4354248046875 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.405737918384155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57907775} λ = 0.57907775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.405737918384155))-π/2
    2×atan(1.50040927123815)-π/2
    2×0.982919629075493-π/2
    1.96583925815099-1.57079632675     		φ = 0.39504293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57907775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.178711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39504293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.634293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9702 KachelY 7134 0.57907775 0.39504293 33.178711 22.634293
    Oben rechts KachelX + 1 9703 KachelY 7134 0.57946124 0.39504293 33.200683 22.634293
    Unten links KachelX 9702 KachelY + 1 7135 0.57907775 0.39468895 33.178711 22.614011
    Unten rechts KachelX + 1 9703 KachelY + 1 7135 0.57946124 0.39468895 33.200683 22.614011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39504293-0.39468895) × R
    0.000353980000000031 × 6371000     		dl = 2255.2065800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39504293-0.39468895) × R
    0.000353980000000031 × 6371000     		dr = 2255.2065800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57907775-0.57946124) × cos(0.39504293) × R
    0.000383490000000042 × 0.922980043697042 × 6371000     		do = 2255.03849363571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57907775-0.57946124) × cos(0.39468895) × R
    0.000383490000000042 × 0.923116214297387 × 6371000     		du = 2255.37118766043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39504293)-sin(0.39468895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.922980043697042-0.923116214297387)×R²
    abs(0.57946124-0.57907775)×0.000136170600344765×R²
    0.000383490000000042×0.000136170600344765×6371000²
    0.000383490000000042×0.000136170600344765×40589641000000     		ar = 5085952.84898439m²