Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9702 / 10535
↖ ↑ ↗
← S 45.690833°
E 33.178711°		 ← 1 706.66 m → S 45.690833°
E 33.200683°		 →
↑
1 706.47 m
↓
↑
1 706.47 m
↓
S 45.706179°
E 33.178711°		 ← 1 706.19 m →
2 911 966 m²		 S 45.706179°
E 33.200683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592193603515625 y=0.643035888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592193603515625 × 214)
    floor (0.592193603515625 × 16384)
    floor (9702.5)     		tx = 9702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643035888671875 × 214)
    floor (0.643035888671875 × 16384)
    floor (10535.5)     		ty = 10535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9702 / 10535 ti = "14/9702/10535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9702/10535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9702 ÷ 214
    9702 ÷ 16384     		x = 0.5921630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10535 ÷ 214
    10535 ÷ 16384     		y = 0.64300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57907775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.2860107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.898529246478333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57907775} λ = 0.57907775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898529246478333))-π/2
    2×atan(0.407168063443775)-π/2
    2×0.386670427919151-π/2
    0.773340855838301-1.57079632675     		φ = -0.79745547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57907775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.178711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79745547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.690833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9702 KachelY 10535 0.57907775 -0.79745547 33.178711 -45.690833
    Oben rechts KachelX + 1 9703 KachelY 10535 0.57946124 -0.79745547 33.200683 -45.690833
    Unten links KachelX 9702 KachelY + 1 10536 0.57907775 -0.79772332 33.178711 -45.706179
    Unten rechts KachelX + 1 9703 KachelY + 1 10536 0.57946124 -0.79772332 33.200683 -45.706179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79745547--0.79772332) × R
    0.000267849999999958 × 6371000     		dl = 1706.47234999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79745547--0.79772332) × R
    0.000267849999999958 × 6371000     		dr = 1706.47234999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57907775-0.57946124) × cos(-0.79745547) × R
    0.000383490000000042 × 0.698529786012533 × 6371000     		do = 1706.65830444154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57907775-0.57946124) × cos(-0.79772332) × R
    0.000383490000000042 × 0.698338092591969 × 6371000     		du = 1706.18995624127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79745547)-sin(-0.79772332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698529786012533-0.698338092591969)×R²
    abs(0.57946124-0.57907775)×0.000191693420564132×R²
    0.000383490000000042×0.000191693420564132×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191693420564132×40589641000000     		ar = 2911965.61320994m²