Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9701 / 7187
↖ ↑ ↗
← N 21.555284°
E 33.156738°		 ← 2 272.40 m → N 21.555284°
E 33.178711°		 →
↑
2 272.54 m
↓
↑
2 272.54 m
↓
N 21.534847°
E 33.156738°		 ← 2 272.72 m →
5 164 483 m²		 N 21.534847°
E 33.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592132568359375 y=0.438690185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592132568359375 × 214)
    floor (0.592132568359375 × 16384)
    floor (9701.5)     		tx = 9701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.438690185546875 × 214)
    floor (0.438690185546875 × 16384)
    floor (7187.5)     		ty = 7187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9701 / 7187 ti = "14/9701/7187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9701/7187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9701 ÷ 214
    9701 ÷ 16384     		x = 0.59210205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7187 ÷ 214
    7187 ÷ 16384     		y = 0.43865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59210205078125 × 2 - 1) × π
    0.1842041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57869425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43865966796875 × 2 - 1) × π
    0.1226806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.385412672945251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57869425} λ = 0.57869425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.385412672945251))-π/2
    2×atan(1.47022091666567)-π/2
    2×0.973503505444627-π/2
    1.94700701088925-1.57079632675     		φ = 0.37621068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57869425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.156738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37621068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.555284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9701 KachelY 7187 0.57869425 0.37621068 33.156738 21.555284
    Oben rechts KachelX + 1 9702 KachelY 7187 0.57907775 0.37621068 33.178711 21.555284
    Unten links KachelX 9701 KachelY + 1 7188 0.57869425 0.37585398 33.156738 21.534847
    Unten rechts KachelX + 1 9702 KachelY + 1 7188 0.57907775 0.37585398 33.178711 21.534847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37621068-0.37585398) × R
    0.000356700000000043 × 6371000     		dl = 2272.53570000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37621068-0.37585398) × R
    0.000356700000000043 × 6371000     		dr = 2272.53570000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57869425-0.57907775) × cos(0.37621068) × R
    0.000383499999999981 × 0.93006350125127 × 6371000     		do = 2272.40415624184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57869425-0.57907775) × cos(0.37585398) × R
    0.000383499999999981 × 0.930194493234809 × 6371000     		du = 2272.72420613889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37621068)-sin(0.37585398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93006350125127-0.930194493234809)×R²
    abs(0.57907775-0.57869425)×0.00013099198353872×R²
    0.000383499999999981×0.00013099198353872×6371000²
    0.000383499999999981×0.00013099198353872×40589641000000     		ar = 5164483.28705502m²