Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9700 / 7244
↖ ↑ ↗
← N 20.385825°
E 33.134766°		 ← 2 290.19 m → N 20.385825°
E 33.156738°		 →
↑
2 290.37 m
↓
↑
2 290.37 m
↓
N 20.365227°
E 33.134766°		 ← 2 290.50 m →
5 245 747 m²		 N 20.365227°
E 33.156738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592071533203125 y=0.442169189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592071533203125 × 214)
    floor (0.592071533203125 × 16384)
    floor (9700.5)     		tx = 9700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442169189453125 × 214)
    floor (0.442169189453125 × 16384)
    floor (7244.5)     		ty = 7244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9700 / 7244 ti = "14/9700/7244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9700/7244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9700 ÷ 214
    9700 ÷ 16384     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7244 ÷ 214
    7244 ÷ 16384     		y = 0.442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442138671875 × 2 - 1) × π
    0.11572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.363553446718506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.363553446718506))-π/2
    2×atan(1.43843173430682)-π/2
    2×0.963298050217746-π/2
    1.92659610043549-1.57079632675     		φ = 0.35579977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35579977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.385825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9700 KachelY 7244 0.57831076 0.35579977 33.134766 20.385825
    Oben rechts KachelX + 1 9701 KachelY 7244 0.57869425 0.35579977 33.156738 20.385825
    Unten links KachelX 9700 KachelY + 1 7245 0.57831076 0.35544027 33.134766 20.365227
    Unten rechts KachelX + 1 9701 KachelY + 1 7245 0.57869425 0.35544027 33.156738 20.365227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35579977-0.35544027) × R
    0.000359500000000013 × 6371000     		dl = 2290.37450000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35579977-0.35544027) × R
    0.000359500000000013 × 6371000     		dr = 2290.37450000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57869425) × cos(0.35579977) × R
    0.000383489999999931 × 0.937368196628222 × 6371000     		do = 2290.19184167729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57869425) × cos(0.35544027) × R
    0.000383489999999931 × 0.937493364338586 × 6371000     		du = 2290.49765327848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35579977)-sin(0.35544027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937368196628222-0.937493364338586)×R²
    abs(0.57869425-0.57831076)×0.00012516771036386×R²
    0.000383489999999931×0.00012516771036386×6371000²
    0.000383489999999931×0.00012516771036386×40589641000000     		ar = 5245747.26232918m²