Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9700 / 7166
↖ ↑ ↗
← N 21.983802°
E 33.134766°		 ← 2 265.57 m → N 21.983802°
E 33.156738°		 →
↑
2 265.78 m
↓
↑
2 265.78 m
↓
N 21.963425°
E 33.134766°		 ← 2 265.89 m →
5 133 653 m²		 N 21.963425°
E 33.156738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.592071533203125 y=0.437408447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.592071533203125 × 214)
    floor (0.592071533203125 × 16384)
    floor (9700.5)     		tx = 9700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437408447265625 × 214)
    floor (0.437408447265625 × 16384)
    floor (7166.5)     		ty = 7166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9700 / 7166 ti = "14/9700/7166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9700/7166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9700 ÷ 214
    9700 ÷ 16384     		x = 0.592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7166 ÷ 214
    7166 ÷ 16384     		y = 0.4373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    0.18408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57831076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    0.125244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.393466072081421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57831076} λ = 0.57831076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.393466072081421))-π/2
    2×atan(1.48210899800564)-π/2
    2×0.977243021811214-π/2
    1.95448604362243-1.57079632675     		φ = 0.38368972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57831076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.134766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38368972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.983802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9700 KachelY 7166 0.57831076 0.38368972 33.134766 21.983802
    Oben rechts KachelX + 1 9701 KachelY 7166 0.57869425 0.38368972 33.156738 21.983802
    Unten links KachelX 9700 KachelY + 1 7167 0.57831076 0.38333408 33.134766 21.963425
    Unten rechts KachelX + 1 9701 KachelY + 1 7167 0.57869425 0.38333408 33.156738 21.963425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38368972-0.38333408) × R
    0.00035563999999999 × 6371000     		dl = 2265.78243999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38368972-0.38333408) × R
    0.00035563999999999 × 6371000     		dr = 2265.78243999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57831076-0.57869425) × cos(0.38368972) × R
    0.000383489999999931 × 0.927289724578809 × 6371000     		do = 2265.56796970556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57831076-0.57869425) × cos(0.38333408) × R
    0.000383489999999931 × 0.927422797794224 × 6371000     		du = 2265.89309615362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38368972)-sin(0.38333408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927289724578809-0.927422797794224)×R²
    abs(0.57869425-0.57831076)×0.000133073215414559×R²
    0.000383489999999931×0.000133073215414559×6371000²
    0.000383489999999931×0.000133073215414559×40589641000000     		ar = 5133652.5093919m²