Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 970 / 437
↖ ↑ ↗
← N 71.244356°
W  9.492188°		 ← 6 284.69 m → N 71.244356°
W  9.316406°		 →
↑
6 293.85 m
↓
↑
6 293.85 m
↓
N 71.187754°
W  9.492188°		 ← 6 302.97 m →
39 612 416 m²		 N 71.187754°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473876953125 y=0.213623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473876953125 × 211)
    floor (0.473876953125 × 2048)
    floor (970.5)     		tx = 970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213623046875 × 211)
    floor (0.213623046875 × 2048)
    floor (437.5)     		ty = 437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 970 / 437 ti = "11/970/437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/970/437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 970 ÷ 211
    970 ÷ 2048     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 437 ÷ 211
    437 ÷ 2048     		y = 0.21337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21337890625 × 2 - 1) × π
    0.5732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80089344492627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80089344492627))-π/2
    2×atan(6.05505490651189)-π/2
    2×1.40712245197172-π/2
    2.81424490394343-1.57079632675     		φ = 1.24344858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24344858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.244356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 970 KachelY 437 -0.16566993 1.24344858 -9.492188 71.244356
    Oben rechts KachelX + 1 971 KachelY 437 -0.16260196 1.24344858 -9.316406 71.244356
    Unten links KachelX 970 KachelY + 1 438 -0.16566993 1.24246069 -9.492188 71.187754
    Unten rechts KachelX + 1 971 KachelY + 1 438 -0.16260196 1.24246069 -9.316406 71.187754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24344858-1.24246069) × R
    0.000987889999999991 × 6371000     		dl = 6293.84718999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24344858-1.24246069) × R
    0.000987889999999991 × 6371000     		dr = 6293.84718999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16260196) × cos(1.24344858) × R
    0.00306797 × 0.321532747767724 × 6371000     		do = 6284.69094278035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16260196) × cos(1.24246069) × R
    0.00306797 × 0.322468022238295 × 6371000     		du = 6302.9718520657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24344858)-sin(1.24246069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321532747767724-0.322468022238295)×R²
    abs(-0.16260196--0.16566993)×0.000935274470571235×R²
    0.00306797×0.000935274470571235×6371000²
    0.00306797×0.000935274470571235×40589641000000     		ar = 39612416.2765707m²