Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96998 / 101786
↖ ↑ ↗
← S 70.044973°
E 86.412964°		 ← 104.21 m → S 70.044973°
E 86.415710°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
S 70.045910°
E 86.412964°		 ← 104.21 m →
10 862 m²		 S 70.045910°
E 86.415710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.740039825439453 y=0.776569366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.740039825439453 × 217)
    floor (0.740039825439453 × 131072)
    floor (96998.5)     		tx = 96998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776569366455078 × 217)
    floor (0.776569366455078 × 131072)
    floor (101786.5)     		ty = 101786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96998 / 101786 ti = "17/96998/101786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96998/101786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96998 ÷ 217
    96998 ÷ 131072     		x = 0.740036010742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101786 ÷ 217
    101786 ÷ 131072     		y = 0.776565551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.740036010742188 × 2 - 1) × π
    0.480072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.50819074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776565551757812 × 2 - 1) × π
    -0.553131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73771261122704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50819074} λ = 1.50819074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73771261122704))-π/2
    2×atan(0.175922343535402)-π/2
    2×0.174140462192963-π/2
    0.348280924385927-1.57079632675     		φ = -1.22251540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50819074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.412964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22251540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.044973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96998 KachelY 101786 1.50819074 -1.22251540 86.412964 -70.044973
    Oben rechts KachelX + 1 96999 KachelY 101786 1.50823867 -1.22251540 86.415710 -70.044973
    Unten links KachelX 96998 KachelY + 1 101787 1.50819074 -1.22253176 86.412964 -70.045910
    Unten rechts KachelX + 1 96999 KachelY + 1 101787 1.50823867 -1.22253176 86.415710 -70.045910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22251540--1.22253176) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22251540--1.22253176) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50819074-1.50823867) × cos(-1.22251540) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.341282451122711 × 6371000     		do = 104.214702077788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50819074-1.50823867) × cos(-1.22253176) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.341267073318499 × 6371000     		du = 104.210006280277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22251540)-sin(-1.22253176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341282451122711-0.341267073318499)×R²
    abs(1.50823867-1.50819074)×1.53778042116248e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.53778042116248e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.53778042116248e-05×40589641000000     		ar = 10862.0078230373m²