Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96991 / 101909
↖ ↑ ↗
← S 70.159949°
E 86.393738°		 ← 103.64 m → S 70.159949°
E 86.396484°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 70.160882°
E 86.393738°		 ← 103.63 m →
10 743 m²		 S 70.160882°
E 86.396484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739986419677734 y=0.777507781982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739986419677734 × 217)
    floor (0.739986419677734 × 131072)
    floor (96991.5)     		tx = 96991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777507781982422 × 217)
    floor (0.777507781982422 × 131072)
    floor (101909.5)     		ty = 101909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96991 / 101909 ti = "17/96991/101909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96991/101909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96991 ÷ 217
    96991 ÷ 131072     		x = 0.739982604980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101909 ÷ 217
    101909 ÷ 131072     		y = 0.777503967285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739982604980469 × 2 - 1) × π
    0.479965209960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.50785518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777503967285156 × 2 - 1) × π
    -0.555007934570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.7436088498803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50785518} λ = 1.50785518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7436088498803))-π/2
    2×atan(0.174888115437616)-π/2
    2×0.173137104475345-π/2
    0.34627420895069-1.57079632675     		φ = -1.22452212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50785518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.393738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22452212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.159949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96991 KachelY 101909 1.50785518 -1.22452212 86.393738 -70.159949
    Oben rechts KachelX + 1 96992 KachelY 101909 1.50790311 -1.22452212 86.396484 -70.159949
    Unten links KachelX 96991 KachelY + 1 101910 1.50785518 -1.22453839 86.393738 -70.160882
    Unten rechts KachelX + 1 96992 KachelY + 1 101910 1.50790311 -1.22453839 86.396484 -70.160882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22452212--1.22453839) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22452212--1.22453839) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50785518-1.50790311) × cos(-1.22452212) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339395527111004 × 6371000     		do = 103.6385071316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50785518-1.50790311) × cos(-1.22453839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339380222792169 × 6371000     		du = 103.633833773732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22452212)-sin(-1.22453839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339395527111004-0.339380222792169)×R²
    abs(1.50790311-1.50785518)×1.53043188346746e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53043188346746e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53043188346746e-05×40589641000000     		ar = 10742.5285029831m²