Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9698 / 7530
↖ ↑ ↗
← N 14.392118°
E 33.090821°		 ← 2 366.54 m → N 14.392118°
E 33.112793°		 →
↑
2 366.70 m
↓
↑
2 366.70 m
↓
N 14.370834°
E 33.090821°		 ← 2 366.77 m →
5 601 155 m²		 N 14.370834°
E 33.112793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591949462890625 y=0.459625244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591949462890625 × 214)
    floor (0.591949462890625 × 16384)
    floor (9698.5)     		tx = 9698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459625244140625 × 214)
    floor (0.459625244140625 × 16384)
    floor (7530.5)     		ty = 7530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9698 / 7530 ti = "14/9698/7530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9698/7530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9698 ÷ 214
    9698 ÷ 16384     		x = 0.5919189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7530 ÷ 214
    7530 ÷ 16384     		y = 0.4595947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5919189453125 × 2 - 1) × π
    0.183837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57754377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    0.080810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.253873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57754377} λ = 0.57754377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.253873820387817))-π/2
    2×atan(1.28900914733172)-π/2
    2×0.910993086841791-π/2
    1.82198617368358-1.57079632675     		φ = 0.25118985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57754377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.090821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25118985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.392118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9698 KachelY 7530 0.57754377 0.25118985 33.090821 14.392118
    Oben rechts KachelX + 1 9699 KachelY 7530 0.57792726 0.25118985 33.112793 14.392118
    Unten links KachelX 9698 KachelY + 1 7531 0.57754377 0.25081837 33.090821 14.370834
    Unten rechts KachelX + 1 9699 KachelY + 1 7531 0.57792726 0.25081837 33.112793 14.370834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25118985-0.25081837) × R
    0.00037147999999998 × 6371000     		dl = 2366.69907999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25118985-0.25081837) × R
    0.00037147999999998 × 6371000     		dr = 2366.69907999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57754377-0.57792726) × cos(0.25118985) × R
    0.000383490000000042 × 0.968617362313766 × 6371000     		do = 2366.54026545604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57754377-0.57792726) × cos(0.25081837) × R
    0.000383490000000042 × 0.968709629300533 × 6371000     		du = 2366.76569352274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25118985)-sin(0.25081837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968617362313766-0.968709629300533)×R²
    abs(0.57792726-0.57754377)×9.22669867665649e-05×R²
    0.000383490000000042×9.22669867665649e-05×6371000²
    0.000383490000000042×9.22669867665649e-05×40589641000000     		ar = 5601155.4936487m²