Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9697 / 7393
↖ ↑ ↗
← N 17.287709°
E 33.068848°		 ← 2 332.90 m → N 17.287709°
E 33.090821°		 →
↑
2 333 m
↓
↑
2 333 m
↓
N 17.266728°
E 33.068848°		 ← 2 333.17 m →
5 442 963 m²		 N 17.266728°
E 33.090821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591888427734375 y=0.451263427734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591888427734375 × 214)
    floor (0.591888427734375 × 16384)
    floor (9697.5)     		tx = 9697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451263427734375 × 214)
    floor (0.451263427734375 × 16384)
    floor (7393.5)     		ty = 7393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9697 / 7393 ti = "14/9697/7393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9697/7393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9697 ÷ 214
    9697 ÷ 16384     		x = 0.59185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7393 ÷ 214
    7393 ÷ 16384     		y = 0.45123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59185791015625 × 2 - 1) × π
    0.1837158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57716027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    0.0975341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.306412662371399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57716027} λ = 0.57716027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.306412662371399))-π/2
    2×atan(1.3585428103883)-π/2
    2×0.936261884923355-π/2
    1.87252376984671-1.57079632675     		φ = 0.30172744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57716027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.068848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30172744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.287709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9697 KachelY 7393 0.57716027 0.30172744 33.068848 17.287709
    Oben rechts KachelX + 1 9698 KachelY 7393 0.57754377 0.30172744 33.090821 17.287709
    Unten links KachelX 9697 KachelY + 1 7394 0.57716027 0.30136125 33.068848 17.266728
    Unten rechts KachelX + 1 9698 KachelY + 1 7394 0.57754377 0.30136125 33.090821 17.266728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30172744-0.30136125) × R
    0.000366189999999988 × 6371000     		dl = 2332.99648999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30172744-0.30136125) × R
    0.000366189999999988 × 6371000     		dr = 2332.99648999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57716027-0.57754377) × cos(0.30172744) × R
    0.000383499999999981 × 0.95482457056863 × 6371000     		do = 2332.90234454195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57716027-0.57754377) × cos(0.30136125) × R
    0.000383499999999981 × 0.954933327248658 × 6371000     		du = 2333.16806739999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30172744)-sin(0.30136125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95482457056863-0.954933327248658)×R²
    abs(0.57754377-0.57716027)×0.00010875668002841×R²
    0.000383499999999981×0.00010875668002841×6371000²
    0.000383499999999981×0.00010875668002841×40589641000000     		ar = 5442963.00739991m²