Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96966 / 102015
↖ ↑ ↗
← S 70.258524°
E 86.325074°		 ← 103.14 m → S 70.258524°
E 86.327820°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.259452°
E 86.325074°		 ← 103.14 m →
10 639 m²		 S 70.259452°
E 86.327820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739795684814453 y=0.778316497802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739795684814453 × 217)
    floor (0.739795684814453 × 131072)
    floor (96966.5)     		tx = 96966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778316497802734 × 217)
    floor (0.778316497802734 × 131072)
    floor (102015.5)     		ty = 102015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96966 / 102015 ti = "17/96966/102015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96966/102015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96966 ÷ 217
    96966 ÷ 131072     		x = 0.739791870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102015 ÷ 217
    102015 ÷ 131072     		y = 0.778312683105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739791870117188 × 2 - 1) × π
    0.479583740234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.50665676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778312683105469 × 2 - 1) × π
    -0.556625366210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.74869016124003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50665676} λ = 1.50665676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74869016124003))-π/2
    2×atan(0.174001708432186)-π/2
    2×0.172276875180735-π/2
    0.344553750361469-1.57079632675     		φ = -1.22624258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50665676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.325074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22624258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.258524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96966 KachelY 102015 1.50665676 -1.22624258 86.325074 -70.258524
    Oben rechts KachelX + 1 96967 KachelY 102015 1.50670469 -1.22624258 86.327820 -70.258524
    Unten links KachelX 96966 KachelY + 1 102016 1.50665676 -1.22625877 86.325074 -70.259452
    Unten rechts KachelX + 1 96967 KachelY + 1 102016 1.50670469 -1.22625877 86.327820 -70.259452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22624258--1.22625877) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22624258--1.22625877) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50665676-1.50670469) × cos(-1.22624258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337776685650192 × 6371000     		do = 103.144174416878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50665676-1.50670469) × cos(-1.22625877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337761447152447 × 6371000     		du = 103.139521158272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22624258)-sin(-1.22625877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337776685650192-0.337761447152447)×R²
    abs(1.50670469-1.50665676)×1.52384977449294e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52384977449294e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52384977449294e-05×40589641000000     		ar = 10638.7195717409m²