Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9695 / 7271
↖ ↑ ↗
← N 19.828725°
E 33.024902°		 ← 2 298.42 m → N 19.828725°
E 33.046875°		 →
↑
2 298.53 m
↓
↑
2 298.53 m
↓
N 19.808054°
E 33.024902°		 ← 2 298.72 m →
5 283 326 m²		 N 19.808054°
E 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591766357421875 y=0.443817138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591766357421875 × 214)
    floor (0.591766357421875 × 16384)
    floor (9695.5)     		tx = 9695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443817138671875 × 214)
    floor (0.443817138671875 × 16384)
    floor (7271.5)     		ty = 7271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9695 / 7271 ti = "14/9695/7271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9695/7271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9695 ÷ 214
    9695 ÷ 16384     		x = 0.59173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7271 ÷ 214
    7271 ÷ 16384     		y = 0.44378662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59173583984375 × 2 - 1) × π
    0.1834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57639328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44378662109375 × 2 - 1) × π
    0.1124267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.353199076400574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57639328} λ = 0.57639328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.353199076400574))-π/2
    2×atan(1.42361452328065)-π/2
    2×0.958436435637113-π/2
    1.91687287127423-1.57079632675     		φ = 0.34607654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57639328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34607654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.828725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9695 KachelY 7271 0.57639328 0.34607654 33.024902 19.828725
    Oben rechts KachelX + 1 9696 KachelY 7271 0.57677678 0.34607654 33.046875 19.828725
    Unten links KachelX 9695 KachelY + 1 7272 0.57639328 0.34571576 33.024902 19.808054
    Unten rechts KachelX + 1 9696 KachelY + 1 7272 0.57677678 0.34571576 33.046875 19.808054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34607654-0.34571576) × R
    0.000360780000000005 × 6371000     		dl = 2298.52938000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34607654-0.34571576) × R
    0.000360780000000005 × 6371000     		dr = 2298.52938000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57639328-0.57677678) × cos(0.34607654) × R
    0.000383499999999981 × 0.94071082510174 × 6371000     		do = 2298.41853368823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57639328-0.57677678) × cos(0.34571576) × R
    0.000383499999999981 × 0.940833143911184 × 6371000     		du = 2298.71739260549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34607654)-sin(0.34571576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94071082510174-0.940833143911184)×R²
    abs(0.57677678-0.57639328)×0.000122318809444244×R²
    0.000383499999999981×0.000122318809444244×6371000²
    0.000383499999999981×0.000122318809444244×40589641000000     		ar = 5283326.05252764m²