Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9695 / 7255
↖ ↑ ↗
← N 20.159098°
E 33.024902°		 ← 2 293.60 m → N 20.159098°
E 33.046875°		 →
↑
2 293.75 m
↓
↑
2 293.75 m
↓
N 20.138470°
E 33.024902°		 ← 2 293.90 m →
5 261 299 m²		 N 20.138470°
E 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591766357421875 y=0.442840576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591766357421875 × 214)
    floor (0.591766357421875 × 16384)
    floor (9695.5)     		tx = 9695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442840576171875 × 214)
    floor (0.442840576171875 × 16384)
    floor (7255.5)     		ty = 7255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9695 / 7255 ti = "14/9695/7255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9695/7255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9695 ÷ 214
    9695 ÷ 16384     		x = 0.59173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7255 ÷ 214
    7255 ÷ 16384     		y = 0.44281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59173583984375 × 2 - 1) × π
    0.1834716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57639328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44281005859375 × 2 - 1) × π
    0.1143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.359334999551941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57639328} λ = 0.57639328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359334999551941))-π/2
    2×atan(1.43237656671468)-π/2
    2×0.96131948292057-π/2
    1.92263896584114-1.57079632675     		φ = 0.35184264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57639328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.024902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35184264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.159098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9695 KachelY 7255 0.57639328 0.35184264 33.024902 20.159098
    Oben rechts KachelX + 1 9696 KachelY 7255 0.57677678 0.35184264 33.046875 20.159098
    Unten links KachelX 9695 KachelY + 1 7256 0.57639328 0.35148261 33.024902 20.138470
    Unten rechts KachelX + 1 9696 KachelY + 1 7256 0.57677678 0.35148261 33.046875 20.138470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35184264-0.35148261) × R
    0.000360030000000011 × 6371000     		dl = 2293.75113000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35184264-0.35148261) × R
    0.000360030000000011 × 6371000     		dr = 2293.75113000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57639328-0.57677678) × cos(0.35184264) × R
    0.000383499999999981 × 0.93873928125295 × 6371000     		do = 2293.60150299067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57639328-0.57677678) × cos(0.35148261) × R
    0.000383499999999981 × 0.938863296882702 × 6371000     		du = 2293.90450771251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35184264)-sin(0.35148261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93873928125295-0.938863296882702)×R²
    abs(0.57677678-0.57639328)×0.00012401562975195×R²
    0.000383499999999981×0.00012401562975195×6371000²
    0.000383499999999981×0.00012401562975195×40589641000000     		ar = 5261298.60479821m²