Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9693 / 7259
↖ ↑ ↗
← N 20.076570°
E 32.980957°		 ← 2 294.81 m → N 20.076570°
E 33.002930°		 →
↑
2 294.90 m
↓
↑
2 294.90 m
↓
N 20.055932°
E 32.980957°		 ← 2 295.11 m →
5 266 706 m²		 N 20.055932°
E 33.002930°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591644287109375 y=0.443084716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591644287109375 × 214)
    floor (0.591644287109375 × 16384)
    floor (9693.5)     		tx = 9693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443084716796875 × 214)
    floor (0.443084716796875 × 16384)
    floor (7259.5)     		ty = 7259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9693 / 7259 ti = "14/9693/7259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9693/7259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9693 ÷ 214
    9693 ÷ 16384     		x = 0.59161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7259 ÷ 214
    7259 ÷ 16384     		y = 0.44305419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59161376953125 × 2 - 1) × π
    0.1832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.57562629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44305419921875 × 2 - 1) × π
    0.1138916015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.357801018764099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57562629} λ = 0.57562629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.357801018764099))-π/2
    2×atan(1.43018101297954)-π/2
    2×0.960599288808533-π/2
    1.92119857761707-1.57079632675     		φ = 0.35040225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57562629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.980957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35040225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.076570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9693 KachelY 7259 0.57562629 0.35040225 32.980957 20.076570
    Oben rechts KachelX + 1 9694 KachelY 7259 0.57600979 0.35040225 33.002930 20.076570
    Unten links KachelX 9693 KachelY + 1 7260 0.57562629 0.35004204 32.980957 20.055932
    Unten rechts KachelX + 1 9694 KachelY + 1 7260 0.57600979 0.35004204 33.002930 20.055932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35040225-0.35004204) × R
    0.000360210000000027 × 6371000     		dl = 2294.89791000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35040225-0.35004204) × R
    0.000360210000000027 × 6371000     		dr = 2294.89791000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57562629-0.57600979) × cos(0.35040225) × R
    0.000383499999999981 × 0.93923470621042 × 6371000     		do = 2294.81196413762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57562629-0.57600979) × cos(0.35004204) × R
    0.000383499999999981 × 0.939358296593452 × 6371000     		du = 2295.11392986329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35040225)-sin(0.35004204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93923470621042-0.939358296593452)×R²
    abs(0.57600979-0.57562629)×0.00012359038303178×R²
    0.000383499999999981×0.00012359038303178×6371000²
    0.000383499999999981×0.00012359038303178×40589641000000     		ar = 5266705.72754609m²