Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96921 / 101603
↖ ↑ ↗
← S 69.872727°
E 86.201477°		 ← 105.10 m → S 69.872727°
E 86.204224°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.873672°
E 86.201477°		 ← 105.09 m →
11 041 m²		 S 69.873672°
E 86.204224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739452362060547 y=0.775173187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739452362060547 × 217)
    floor (0.739452362060547 × 131072)
    floor (96921.5)     		tx = 96921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775173187255859 × 217)
    floor (0.775173187255859 × 131072)
    floor (101603.5)     		ty = 101603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96921 / 101603 ti = "17/96921/101603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96921/101603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96921 ÷ 217
    96921 ÷ 131072     		x = 0.739448547363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101603 ÷ 217
    101603 ÷ 131072     		y = 0.775169372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739448547363281 × 2 - 1) × π
    0.478897094726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.50449959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775169372558594 × 2 - 1) × π
    -0.550338745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.72894015859657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50449959} λ = 1.50449959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72894015859657))-π/2
    2×atan(0.177472402931512)-π/2
    2×0.175643590703755-π/2
    0.35128718140751-1.57079632675     		φ = -1.21950915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50449959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.201477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21950915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.872727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96921 KachelY 101603 1.50449959 -1.21950915 86.201477 -69.872727
    Oben rechts KachelX + 1 96922 KachelY 101603 1.50454753 -1.21950915 86.204224 -69.872727
    Unten links KachelX 96921 KachelY + 1 101604 1.50449959 -1.21952564 86.201477 -69.873672
    Unten rechts KachelX + 1 96922 KachelY + 1 101604 1.50454753 -1.21952564 86.204224 -69.873672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21950915--1.21952564) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dl = 105.057790000934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21950915--1.21952564) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dr = 105.057790000934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50449959-1.50454753) × cos(-1.21950915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344106661818663 × 6371000     		do = 105.099031824826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50449959-1.50454753) × cos(-1.21952564) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344091178806867 × 6371000     		du = 105.094302914491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21950915)-sin(-1.21952564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344106661818663-0.344091178806867)×R²
    abs(1.50454753-1.50449959)×1.54830117957694e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54830117957694e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54830117957694e-05×40589641000000     		ar = 11041.2236105484m²