Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9692 / 7268
↖ ↑ ↗
← N 19.890723°
E 32.958985°		 ← 2 297.46 m → N 19.890723°
E 32.980957°		 →
↑
2 297.64 m
↓
↑
2 297.64 m
↓
N 19.870060°
E 32.958985°		 ← 2 297.76 m →
5 279 075 m²		 N 19.870060°
E 32.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591583251953125 y=0.443634033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591583251953125 × 214)
    floor (0.591583251953125 × 16384)
    floor (9692.5)     		tx = 9692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443634033203125 × 214)
    floor (0.443634033203125 × 16384)
    floor (7268.5)     		ty = 7268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9692 / 7268 ti = "14/9692/7268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9692/7268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9692 ÷ 214
    9692 ÷ 16384     		x = 0.591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7268 ÷ 214
    7268 ÷ 16384     		y = 0.443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    0.18310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57524280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443603515625 × 2 - 1) × π
    0.11279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.354349561991455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57524280} λ = 0.57524280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.354349561991455))-π/2
    2×atan(1.42525331379833)-π/2
    2×0.958977467078181-π/2
    1.91795493415636-1.57079632675     		φ = 0.34715861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57524280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.958985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34715861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.890723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9692 KachelY 7268 0.57524280 0.34715861 32.958985 19.890723
    Oben rechts KachelX + 1 9693 KachelY 7268 0.57562629 0.34715861 32.980957 19.890723
    Unten links KachelX 9692 KachelY + 1 7269 0.57524280 0.34679797 32.958985 19.870060
    Unten rechts KachelX + 1 9693 KachelY + 1 7269 0.57562629 0.34679797 32.980957 19.870060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34715861-0.34679797) × R
    0.000360639999999968 × 6371000     		dl = 2297.63743999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34715861-0.34679797) × R
    0.000360639999999968 × 6371000     		dr = 2297.63743999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57524280-0.57562629) × cos(0.34715861) × R
    0.000383489999999931 × 0.940343225928595 × 6371000     		do = 2297.46047726464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57524280-0.57562629) × cos(0.34679797) × R
    0.000383489999999931 × 0.940465864349265 × 6371000     		du = 2297.76010926784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34715861)-sin(0.34679797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940343225928595-0.940465864349265)×R²
    abs(0.57562629-0.57524280)×0.000122638420670174×R²
    0.000383489999999931×0.000122638420670174×6371000²
    0.000383489999999931×0.000122638420670174×40589641000000     		ar = 5279075.48955487m²