Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9692 / 7124
↖ ↑ ↗
← N 22.836946°
E 32.958985°		 ← 2 251.70 m → N 22.836946°
E 32.980957°		 →
↑
2 251.89 m
↓
↑
2 251.89 m
↓
N 22.816694°
E 32.958985°		 ← 2 252.03 m →
5 070 963 m²		 N 22.816694°
E 32.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591583251953125 y=0.434844970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591583251953125 × 214)
    floor (0.591583251953125 × 16384)
    floor (9692.5)     		tx = 9692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434844970703125 × 214)
    floor (0.434844970703125 × 16384)
    floor (7124.5)     		ty = 7124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9692 / 7124 ti = "14/9692/7124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9692/7124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9692 ÷ 214
    9692 ÷ 16384     		x = 0.591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7124 ÷ 214
    7124 ÷ 16384     		y = 0.434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.591552734375 × 2 - 1) × π
    0.18310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57524280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434814453125 × 2 - 1) × π
    0.13037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.40957287035376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57524280} λ = 0.57524280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40957287035376))-π/2
    2×atan(1.5061743159975)-π/2
    2×0.984688112102233-π/2
    1.96937622420447-1.57079632675     		φ = 0.39857990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57524280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.958985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39857990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.836946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9692 KachelY 7124 0.57524280 0.39857990 32.958985 22.836946
    Oben rechts KachelX + 1 9693 KachelY 7124 0.57562629 0.39857990 32.980957 22.836946
    Unten links KachelX 9692 KachelY + 1 7125 0.57524280 0.39822644 32.958985 22.816694
    Unten rechts KachelX + 1 9693 KachelY + 1 7125 0.57562629 0.39822644 32.980957 22.816694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39857990-0.39822644) × R
    0.000353459999999972 × 6371000     		dl = 2251.89365999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39857990-0.39822644) × R
    0.000353459999999972 × 6371000     		dr = 2251.89365999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57524280-0.57562629) × cos(0.39857990) × R
    0.000383489999999931 × 0.921613078060589 × 6371000     		do = 2251.69870297465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57524280-0.57562629) × cos(0.39822644) × R
    0.000383489999999931 × 0.921750201830751 × 6371000     		du = 2252.03372579797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39857990)-sin(0.39822644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921613078060589-0.921750201830751)×R²
    abs(0.57562629-0.57524280)×0.000137123770162173×R²
    0.000383489999999931×0.000137123770162173×6371000²
    0.000383489999999931×0.000137123770162173×40589641000000     		ar = 5070963.30413903m²