Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96910 / 101498
↖ ↑ ↗
← S 69.773255°
E 86.171265°		 ← 105.60 m → S 69.773255°
E 86.174011°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
S 69.774204°
E 86.171265°		 ← 105.59 m →
11 147 m²		 S 69.774204°
E 86.174011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739368438720703 y=0.774372100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739368438720703 × 217)
    floor (0.739368438720703 × 131072)
    floor (96910.5)     		tx = 96910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774372100830078 × 217)
    floor (0.774372100830078 × 131072)
    floor (101498.5)     		ty = 101498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96910 / 101498 ti = "17/96910/101498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96910/101498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96910 ÷ 217
    96910 ÷ 131072     		x = 0.739364624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101498 ÷ 217
    101498 ÷ 131072     		y = 0.774368286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739364624023438 × 2 - 1) × π
    0.478729248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.50397229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774368286132812 × 2 - 1) × π
    -0.548736572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72390678413646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50397229} λ = 1.50397229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72390678413646))-π/2
    2×atan(0.178367939887532)-π/2
    2×0.176511648722408-π/2
    0.353023297444815-1.57079632675     		φ = -1.21777303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50397229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.171265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21777303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.773255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96910 KachelY 101498 1.50397229 -1.21777303 86.171265 -69.773255
    Oben rechts KachelX + 1 96911 KachelY 101498 1.50402023 -1.21777303 86.174011 -69.773255
    Unten links KachelX 96910 KachelY + 1 101499 1.50397229 -1.21778960 86.171265 -69.774204
    Unten rechts KachelX + 1 96911 KachelY + 1 101499 1.50402023 -1.21778960 86.174011 -69.774204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21777303--1.21778960) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dl = 105.567469999251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21777303--1.21778960) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dr = 105.567469999251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50397229-1.50402023) × cos(-1.21777303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345736238543743 × 6371000     		do = 105.59674650197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50397229-1.50402023) × cos(-1.21778960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345720690339356 × 6371000     		du = 105.59199768014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21777303)-sin(-1.21778960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345736238543743-0.345720690339356)×R²
    abs(1.50402023-1.50397229)×1.5548204386262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5548204386262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5548204386262e-05×40589641000000     		ar = 11147.3307082133m²