Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9691 / 7203
↖ ↑ ↗
← N 21.227942°
E 32.937012°		 ← 2 277.50 m → N 21.227942°
E 32.958985°		 →
↑
2 277.63 m
↓
↑
2 277.63 m
↓
N 21.207459°
E 32.937012°		 ← 2 277.81 m →
5 187 658 m²		 N 21.207459°
E 32.958985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591522216796875 y=0.439666748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591522216796875 × 214)
    floor (0.591522216796875 × 16384)
    floor (9691.5)     		tx = 9691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439666748046875 × 214)
    floor (0.439666748046875 × 16384)
    floor (7203.5)     		ty = 7203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9691 / 7203 ti = "14/9691/7203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9691/7203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9691 ÷ 214
    9691 ÷ 16384     		x = 0.59149169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7203 ÷ 214
    7203 ÷ 16384     		y = 0.43963623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59149169921875 × 2 - 1) × π
    0.1829833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57485930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43963623046875 × 2 - 1) × π
    0.1207275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.379276749793884
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57485930} λ = 0.57485930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.379276749793884))-π/2
    2×atan(1.46122737416518)-π/2
    2×0.970646903225067-π/2
    1.94129380645013-1.57079632675     		φ = 0.37049748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57485930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.937012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37049748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.227942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9691 KachelY 7203 0.57485930 0.37049748 32.937012 21.227942
    Oben rechts KachelX + 1 9692 KachelY 7203 0.57524280 0.37049748 32.958985 21.227942
    Unten links KachelX 9691 KachelY + 1 7204 0.57485930 0.37013998 32.937012 21.207459
    Unten rechts KachelX + 1 9692 KachelY + 1 7204 0.57524280 0.37013998 32.958985 21.207459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37049748-0.37013998) × R
    0.000357500000000011 × 6371000     		dl = 2277.63250000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37049748-0.37013998) × R
    0.000357500000000011 × 6371000     		dr = 2277.63250000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57485930-0.57524280) × cos(0.37049748) × R
    0.000383500000000092 × 0.932147333799217 × 6371000     		do = 2277.4955395045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57485930-0.57524280) × cos(0.37013998) × R
    0.000383500000000092 × 0.932276717543836 × 6371000     		du = 2277.81166002597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37049748)-sin(0.37013998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932147333799217-0.932276717543836)×R²
    abs(0.57524280-0.57485930)×0.000129383744618572×R²
    0.000383500000000092×0.000129383744618572×6371000²
    0.000383500000000092×0.000129383744618572×40589641000000     		ar = 5187657.91781938m²