Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96909 / 101499
↖ ↑ ↗
← S 69.774204°
E 86.168518°		 ← 105.59 m → S 69.774204°
E 86.171265°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
S 69.775154°
E 86.168518°		 ← 105.59 m →
11 147 m²		 S 69.775154°
E 86.171265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739360809326172 y=0.774379730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739360809326172 × 217)
    floor (0.739360809326172 × 131072)
    floor (96909.5)     		tx = 96909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774379730224609 × 217)
    floor (0.774379730224609 × 131072)
    floor (101499.5)     		ty = 101499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96909 / 101499 ti = "17/96909/101499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96909/101499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96909 ÷ 217
    96909 ÷ 131072     		x = 0.739356994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101499 ÷ 217
    101499 ÷ 131072     		y = 0.774375915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739356994628906 × 2 - 1) × π
    0.478713989257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.50392435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774375915527344 × 2 - 1) × π
    -0.548751831054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.72395472103608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50392435} λ = 1.50392435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72395472103608))-π/2
    2×atan(0.178359389686439)-π/2
    2×0.176503362147082-π/2
    0.353006724294163-1.57079632675     		φ = -1.21778960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50392435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.168518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21778960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.774204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96909 KachelY 101499 1.50392435 -1.21778960 86.168518 -69.774204
    Oben rechts KachelX + 1 96910 KachelY 101499 1.50397229 -1.21778960 86.171265 -69.774204
    Unten links KachelX 96909 KachelY + 1 101500 1.50392435 -1.21780617 86.168518 -69.775154
    Unten rechts KachelX + 1 96910 KachelY + 1 101500 1.50397229 -1.21780617 86.171265 -69.775154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21778960--1.21780617) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dl = 105.567470000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21778960--1.21780617) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dr = 105.567470000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50392435-1.50397229) × cos(-1.21778960) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.345720690339356 × 6371000     		do = 105.591997680629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50392435-1.50397229) × cos(-1.21780617) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.345705142040047 × 6371000     		du = 105.587248829806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21778960)-sin(-1.21780617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345720690339356-0.345705142040047)×R²
    abs(1.50397229-1.50392435)×1.55482993092204e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.55482993092204e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.55482993092204e-05×40589641000000     		ar = 11146.8293855366m²