Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96902 / 102022
↖ ↑ ↗
← S 70.265017°
E 86.149292°		 ← 103.13 m → S 70.265017°
E 86.152039°		 →
↑
103.15 m
↓
↑
103.15 m
↓
S 70.265945°
E 86.149292°		 ← 103.13 m →
10 638 m²		 S 70.265945°
E 86.152039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739307403564453 y=0.778369903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739307403564453 × 217)
    floor (0.739307403564453 × 131072)
    floor (96902.5)     		tx = 96902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778369903564453 × 217)
    floor (0.778369903564453 × 131072)
    floor (102022.5)     		ty = 102022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96902 / 102022 ti = "17/96902/102022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96902/102022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96902 ÷ 217
    96902 ÷ 131072     		x = 0.739303588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102022 ÷ 217
    102022 ÷ 131072     		y = 0.778366088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739303588867188 × 2 - 1) × π
    0.478607177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.50358879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778366088867188 × 2 - 1) × π
    -0.556732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74902571953737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50358879} λ = 1.50358879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74902571953737))-π/2
    2×atan(0.173943330510316)-π/2
    2×0.172220212244111-π/2
    0.344440424488221-1.57079632675     		φ = -1.22635590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50358879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.149292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22635590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.265017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96902 KachelY 102022 1.50358879 -1.22635590 86.149292 -70.265017
    Oben rechts KachelX + 1 96903 KachelY 102022 1.50363673 -1.22635590 86.152039 -70.265017
    Unten links KachelX 96902 KachelY + 1 102023 1.50358879 -1.22637209 86.149292 -70.265945
    Unten rechts KachelX + 1 96903 KachelY + 1 102023 1.50363673 -1.22637209 86.152039 -70.265945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22635590--1.22637209) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dl = 103.146489999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22635590--1.22637209) × R
    1.61899999999715e-05 × 6371000     		dr = 103.146489999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50358879-1.50363673) × cos(-1.22635590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337670023719576 × 6371000     		do = 103.133116870301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50358879-1.50363673) × cos(-1.22637209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337654784602241 × 6371000     		du = 103.128462451612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22635590)-sin(-1.22637209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337670023719576-0.337654784602241)×R²
    abs(1.50363673-1.50358879)×1.52391173353084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52391173353084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52391173353084e-05×40589641000000     		ar = 10637.5789646145m²