Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9690 / 7266
↖ ↑ ↗
← N 19.932041°
E 32.915039°		 ← 2 296.86 m → N 19.932041°
E 32.937012°		 →
↑
2 297.06 m
↓
↑
2 297.06 m
↓
N 19.911383°
E 32.915039°		 ← 2 297.16 m →
5 276 380 m²		 N 19.911383°
E 32.937012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591461181640625 y=0.443511962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591461181640625 × 214)
    floor (0.591461181640625 × 16384)
    floor (9690.5)     		tx = 9690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443511962890625 × 214)
    floor (0.443511962890625 × 16384)
    floor (7266.5)     		ty = 7266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9690 / 7266 ti = "14/9690/7266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9690/7266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9690 ÷ 214
    9690 ÷ 16384     		x = 0.5914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7266 ÷ 214
    7266 ÷ 16384     		y = 0.4434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5914306640625 × 2 - 1) × π
    0.182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57447581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4434814453125 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.355116552385376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57447581} λ = 0.57447581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.355116552385376))-π/2
    2×atan(1.42634688872604)-π/2
    2×0.959338037110291-π/2
    1.91867607422058-1.57079632675     		φ = 0.34787975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57447581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34787975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.932041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9690 KachelY 7266 0.57447581 0.34787975 32.915039 19.932041
    Oben rechts KachelX + 1 9691 KachelY 7266 0.57485930 0.34787975 32.937012 19.932041
    Unten links KachelX 9690 KachelY + 1 7267 0.57447581 0.34751920 32.915039 19.911383
    Unten rechts KachelX + 1 9691 KachelY + 1 7267 0.57485930 0.34751920 32.937012 19.911383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34787975-0.34751920) × R
    0.000360550000000015 × 6371000     		dl = 2297.0640500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34787975-0.34751920) × R
    0.000360550000000015 × 6371000     		dr = 2297.0640500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57447581-0.57485930) × cos(0.34787975) × R
    0.000383489999999931 × 0.940097629923449 × 6371000     		do = 2296.8604334725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57447581-0.57485930) × cos(0.34751920) × R
    0.000383489999999931 × 0.940220482234068 × 6371000     		du = 2297.16058805479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34787975)-sin(0.34751920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940097629923449-0.940220482234068)×R²
    abs(0.57485930-0.57447581)×0.000122852310619259×R²
    0.000383489999999931×0.000122852310619259×6371000²
    0.000383489999999931×0.000122852310619259×40589641000000     		ar = 5276380.32390683m²