Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9690 / 7122
↖ ↑ ↗
← N 22.877440°
E 32.915039°		 ← 2 251.03 m → N 22.877440°
E 32.937012°		 →
↑
2 251.19 m
↓
↑
2 251.19 m
↓
N 22.857195°
E 32.915039°		 ← 2 251.36 m →
5 067 876 m²		 N 22.857195°
E 32.937012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591461181640625 y=0.434722900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591461181640625 × 214)
    floor (0.591461181640625 × 16384)
    floor (9690.5)     		tx = 9690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434722900390625 × 214)
    floor (0.434722900390625 × 16384)
    floor (7122.5)     		ty = 7122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9690 / 7122 ti = "14/9690/7122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9690/7122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9690 ÷ 214
    9690 ÷ 16384     		x = 0.5914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7122 ÷ 214
    7122 ÷ 16384     		y = 0.4346923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5914306640625 × 2 - 1) × π
    0.182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57447581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4346923828125 × 2 - 1) × π
    0.130615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.410339860747681
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57447581} λ = 0.57447581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.410339860747681))-π/2
    2×atan(1.50732998036452)-π/2
    2×0.985041493662764-π/2
    1.97008298732553-1.57079632675     		φ = 0.39928666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57447581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.915039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39928666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.877440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9690 KachelY 7122 0.57447581 0.39928666 32.915039 22.877440
    Oben rechts KachelX + 1 9691 KachelY 7122 0.57485930 0.39928666 32.937012 22.877440
    Unten links KachelX 9690 KachelY + 1 7123 0.57447581 0.39893331 32.915039 22.857195
    Unten rechts KachelX + 1 9691 KachelY + 1 7123 0.57485930 0.39893331 32.937012 22.857195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39928666-0.39893331) × R
    0.00035335000000003 × 6371000     		dl = 2251.19285000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39928666-0.39893331) × R
    0.00035335000000003 × 6371000     		dr = 2251.19285000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57447581-0.57485930) × cos(0.39928666) × R
    0.000383489999999931 × 0.921338547316873 × 6371000     		do = 2251.02796540129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57447581-0.57485930) × cos(0.39893331) × R
    0.000383489999999931 × 0.921475858571429 × 6371000     		du = 2251.36344628926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39928666)-sin(0.39893331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921338547316873-0.921475858571429)×R²
    abs(0.57485930-0.57447581)×0.000137311254555184×R²
    0.000383489999999931×0.000137311254555184×6371000²
    0.000383489999999931×0.000137311254555184×40589641000000     		ar = 5067875.72967929m²