Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 969 / 203
↖ ↑ ↗
← N 72.919636°
E160.664062°		 ← 11.482 km → N 72.919636°
E161.015625°		 →
↑
11.516 km
↓
↑
11.516 km
↓
N 72.816073°
E160.664062°		 ← 11.549 km →
132.608 km²		 N 72.816073°
E161.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94677734375 y=0.19873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94677734375 × 210)
    floor (0.94677734375 × 1024)
    floor (969.5)     		tx = 969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19873046875 × 210)
    floor (0.19873046875 × 1024)
    floor (203.5)     		ty = 203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 969 / 203 ti = "10/969/203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/969/203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 969 ÷ 210
    969 ÷ 1024     		x = 0.9462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 203 ÷ 210
    203 ÷ 1024     		y = 0.1982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9462890625 × 2 - 1) × π
    0.892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80411688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1982421875 × 2 - 1) × π
    0.603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89600025377246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80411688} λ = 2.80411688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89600025377246))-π/2
    2×atan(6.65920597034362)-π/2
    2×1.42174202750574-π/2
    2.84348405501148-1.57079632675     		φ = 1.27268773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80411688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27268773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.919636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 969 KachelY 203 2.80411688 1.27268773 160.664062 72.919636
    Oben rechts KachelX + 1 970 KachelY 203 2.81025280 1.27268773 161.015625 72.919636
    Unten links KachelX 969 KachelY + 1 204 2.80411688 1.27088023 160.664062 72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 970 KachelY + 1 204 2.81025280 1.27088023 161.015625 72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27268773-1.27088023) × R
    0.00180749999999996 × 6371000     		dl = 11515.5824999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27268773-1.27088023) × R
    0.00180749999999996 × 6371000     		dr = 11515.5824999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80411688-2.81025280) × cos(1.27268773) × R
    0.00613592000000018 × 0.293712752643472 × 6371000     		do = 11481.8031598384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80411688-2.81025280) × cos(1.27088023) × R
    0.00613592000000018 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 11549.3265686488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27268773)-sin(1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293712752643472-0.29544004982785)×R²
    abs(2.81025280-2.80411688)×0.00172729718437831×R²
    0.00613592000000018×0.00172729718437831×6371000²
    0.00613592000000018×0.00172729718437831×40589641000000     		ar = 132608473.331596m²