Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 969 / 1219
↖ ↑ ↗
← S 32.398516°
W  9.667969°		 ← 16.503 km → S 32.398516°
W  9.492188°		 →
↑
16.490 km
↓
↑
16.490 km
↓
S 32.546813°
W  9.667969°		 ← 16.476 km →
271.918 km²		 S 32.546813°
W  9.492188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473388671875 y=0.595458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473388671875 × 211)
    floor (0.473388671875 × 2048)
    floor (969.5)     		tx = 969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.595458984375 × 211)
    floor (0.595458984375 × 2048)
    floor (1219.5)     		ty = 1219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 969 / 1219 ti = "11/969/1219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/969/1219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 969 ÷ 211
    969 ÷ 2048     		x = 0.47314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1219 ÷ 211
    1219 ÷ 2048     		y = 0.59521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47314453125 × 2 - 1) × π
    -0.0537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16873789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16873789} λ = -0.16873789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.598252507258301))-π/2
    2×atan(0.549771518894505)-π/2
    2×0.502667776648375-π/2
    1.00533555329675-1.57079632675     		φ = -0.56546077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16873789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56546077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.398516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 969 KachelY 1219 -0.16873789 -0.56546077 -9.667969 -32.398516
    Oben rechts KachelX + 1 970 KachelY 1219 -0.16566993 -0.56546077 -9.492188 -32.398516
    Unten links KachelX 969 KachelY + 1 1220 -0.16873789 -0.56804905 -9.667969 -32.546813
    Unten rechts KachelX + 1 970 KachelY + 1 1220 -0.16566993 -0.56804905 -9.492188 -32.546813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56546077--0.56804905) × R
    0.00258828000000011 × 6371000     		dl = 16489.9318800007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56546077--0.56804905) × R
    0.00258828000000011 × 6371000     		dr = 16489.9318800007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16873789--0.16566993) × cos(-0.56546077) × R
    0.00306796000000001 × 0.844341807229663 × 6371000     		do = 16503.4823019769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16873789--0.16566993) × cos(-0.56804905) × R
    0.00306796000000001 × 0.842952167416165 × 6371000     		du = 16476.3204394802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56546077)-sin(-0.56804905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844341807229663-0.842952167416165)×R²
    abs(-0.16566993--0.16873789)×0.00138963981349849×R²
    0.00306796000000001×0.00138963981349849×6371000²
    0.00306796000000001×0.00138963981349849×40589641000000     		ar = 271917502.113584m²