Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96898 / 101465
↖ ↑ ↗
← S 69.741895°
E 86.138306°		 ← 105.73 m → S 69.741895°
E 86.141052°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
S 69.742846°
E 86.138306°		 ← 105.73 m →
11 175 m²		 S 69.742846°
E 86.141052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739276885986328 y=0.774120330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739276885986328 × 217)
    floor (0.739276885986328 × 131072)
    floor (96898.5)     		tx = 96898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774120330810547 × 217)
    floor (0.774120330810547 × 131072)
    floor (101465.5)     		ty = 101465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96898 / 101465 ti = "17/96898/101465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96898/101465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96898 ÷ 217
    96898 ÷ 131072     		x = 0.739273071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101465 ÷ 217
    101465 ÷ 131072     		y = 0.774116516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739273071289062 × 2 - 1) × π
    0.478546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50339705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774116516113281 × 2 - 1) × π
    -0.548233032226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.722324866449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50339705} λ = 1.50339705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.722324866449))-π/2
    2×atan(0.178650326583882)-π/2
    2×0.176785314904524-π/2
    0.353570629809048-1.57079632675     		φ = -1.21722570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50339705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.138306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21722570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.741895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96898 KachelY 101465 1.50339705 -1.21722570 86.138306 -69.741895
    Oben rechts KachelX + 1 96899 KachelY 101465 1.50344498 -1.21722570 86.141052 -69.741895
    Unten links KachelX 96898 KachelY + 1 101466 1.50339705 -1.21724229 86.138306 -69.742846
    Unten rechts KachelX + 1 96899 KachelY + 1 101466 1.50344498 -1.21724229 86.141052 -69.742846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21722570--1.21724229) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21722570--1.21724229) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50339705-1.50344498) × cos(-1.21722570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.346249763842959 × 6371000     		do = 105.731530774171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50339705-1.50344498) × cos(-1.21724229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34623420001344 × 6371000     		du = 105.726778171595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21722570)-sin(-1.21724229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346249763842959-0.34623420001344)×R²
    abs(1.50344498-1.50339705)×1.55638295191163e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55638295191163e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55638295191163e-05×40589641000000     		ar = 11175.0313520044m²