Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9689 / 7518
↖ ↑ ↗
← N 14.647369°
E 32.893066°		 ← 2 363.87 m → N 14.647369°
E 32.915039°		 →
↑
2 363.96 m
↓
↑
2 363.96 m
↓
N 14.626109°
E 32.893066°		 ← 2 364.10 m →
5 588 371 m²		 N 14.626109°
E 32.915039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591400146484375 y=0.458892822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591400146484375 × 214)
    floor (0.591400146484375 × 16384)
    floor (9689.5)     		tx = 9689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458892822265625 × 214)
    floor (0.458892822265625 × 16384)
    floor (7518.5)     		ty = 7518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9689 / 7518 ti = "14/9689/7518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9689/7518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9689 ÷ 214
    9689 ÷ 16384     		x = 0.59136962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7518 ÷ 214
    7518 ÷ 16384     		y = 0.4588623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59136962890625 × 2 - 1) × π
    0.1827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.57409231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4588623046875 × 2 - 1) × π
    0.082275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.258475762751343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57409231} λ = 0.57409231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.258475762751343))-π/2
    2×atan(1.29495476333191)-π/2
    2×0.913220565919633-π/2
    1.82644113183927-1.57079632675     		φ = 0.25564481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57409231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.893066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25564481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.647369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9689 KachelY 7518 0.57409231 0.25564481 32.893066 14.647369
    Oben rechts KachelX + 1 9690 KachelY 7518 0.57447581 0.25564481 32.915039 14.647369
    Unten links KachelX 9689 KachelY + 1 7519 0.57409231 0.25527376 32.893066 14.626109
    Unten rechts KachelX + 1 9690 KachelY + 1 7519 0.57447581 0.25527376 32.915039 14.626109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25564481-0.25527376) × R
    0.000371049999999984 × 6371000     		dl = 2363.9595499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25564481-0.25527376) × R
    0.000371049999999984 × 6371000     		dr = 2363.9595499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57409231-0.57447581) × cos(0.25564481) × R
    0.000383499999999981 × 0.96750044417042 × 6371000     		do = 2363.87303398192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57409231-0.57447581) × cos(0.25527376) × R
    0.000383499999999981 × 0.967594204725831 × 6371000     		du = 2364.10211713111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25564481)-sin(0.25527376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96750044417042-0.967594204725831)×R²
    abs(0.57447581-0.57409231)×9.37605554109933e-05×R²
    0.000383499999999981×9.37605554109933e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.37605554109933e-05×40589641000000     		ar = 5588371.0694337m²