Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96889 / 101482
↖ ↑ ↗
← S 69.758056°
E 86.113586°		 ← 105.67 m → S 69.758056°
E 86.116333°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
S 69.759006°
E 86.113586°		 ← 105.67 m →
11 162 m²		 S 69.759006°
E 86.116333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739208221435547 y=0.774250030517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739208221435547 × 217)
    floor (0.739208221435547 × 131072)
    floor (96889.5)     		tx = 96889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774250030517578 × 217)
    floor (0.774250030517578 × 131072)
    floor (101482.5)     		ty = 101482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96889 / 101482 ti = "17/96889/101482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96889/101482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96889 ÷ 217
    96889 ÷ 131072     		x = 0.739204406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101482 ÷ 217
    101482 ÷ 131072     		y = 0.774246215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739204406738281 × 2 - 1) × π
    0.478408813476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.50296561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774246215820312 × 2 - 1) × π
    -0.548492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72313979374254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50296561} λ = 1.50296561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72313979374254))-π/2
    2×atan(0.178504798862059)-π/2
    2×0.176644284630722-π/2
    0.353288569261443-1.57079632675     		φ = -1.21750776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50296561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.113586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21750776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.758056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96889 KachelY 101482 1.50296561 -1.21750776 86.113586 -69.758056
    Oben rechts KachelX + 1 96890 KachelY 101482 1.50301355 -1.21750776 86.116333 -69.758056
    Unten links KachelX 96889 KachelY + 1 101483 1.50296561 -1.21752434 86.113586 -69.759006
    Unten rechts KachelX + 1 96890 KachelY + 1 101483 1.50301355 -1.21752434 86.116333 -69.759006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21750776--1.21752434) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dl = 105.631180000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21750776--1.21752434) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dr = 105.631180000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50296561-1.50301355) × cos(-1.21750776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345985137636948 × 6371000     		do = 105.672766691697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50296561-1.50301355) × cos(-1.21752434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345969581570309 × 6371000     		du = 105.668015468533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21750776)-sin(-1.21752434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345985137636948-0.345969581570309)×R²
    abs(1.50301355-1.50296561)×1.55560666389443e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55560666389443e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55560666389443e-05×40589641000000     		ar = 11162.0881012211m²