Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96887 / 101493
↖ ↑ ↗
← S 69.768506°
E 86.108093°		 ← 105.62 m → S 69.768506°
E 86.110840°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
S 69.769456°
E 86.108093°		 ← 105.62 m →
11 157 m²		 S 69.769456°
E 86.110840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739192962646484 y=0.774333953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739192962646484 × 217)
    floor (0.739192962646484 × 131072)
    floor (96887.5)     		tx = 96887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774333953857422 × 217)
    floor (0.774333953857422 × 131072)
    floor (101493.5)     		ty = 101493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96887 / 101493 ti = "17/96887/101493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96887/101493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96887 ÷ 217
    96887 ÷ 131072     		x = 0.739189147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101493 ÷ 217
    101493 ÷ 131072     		y = 0.774330139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739189147949219 × 2 - 1) × π
    0.478378295898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.50286974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774330139160156 × 2 - 1) × π
    -0.548660278320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.72366709963836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50286974} λ = 1.50286974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72366709963836))-π/2
    2×atan(0.17841069704159)-π/2
    2×0.176553087190494-π/2
    0.353106174380987-1.57079632675     		φ = -1.21769015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50286974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.108093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21769015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.768506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96887 KachelY 101493 1.50286974 -1.21769015 86.108093 -69.768506
    Oben rechts KachelX + 1 96888 KachelY 101493 1.50291768 -1.21769015 86.110840 -69.768506
    Unten links KachelX 96887 KachelY + 1 101494 1.50286974 -1.21770673 86.108093 -69.769456
    Unten rechts KachelX + 1 96888 KachelY + 1 101494 1.50291768 -1.21770673 86.110840 -69.769456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21769015--1.21770673) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dl = 105.631180000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21769015--1.21770673) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dr = 105.631180000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50286974-1.50291768) × cos(-1.21769015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345814006290776 × 6371000     		do = 105.620498773656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50286974-1.50291768) × cos(-1.21770673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345798449178151 × 6371000     		du = 105.61574723102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21769015)-sin(-1.21770673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345814006290776-0.345798449178151)×R²
    abs(1.50291768-1.50286974)×1.55571126247978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55571126247978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55571126247978e-05×40589641000000     		ar = 11156.5669623682m²