Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96882 / 101487
↖ ↑ ↗
← S 69.762807°
E 86.094361°		 ← 105.63 m → S 69.762807°
E 86.097107°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
S 69.763757°
E 86.094361°		 ← 105.62 m →
11 157 m²		 S 69.763757°
E 86.097107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.739154815673828 y=0.774288177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.739154815673828 × 217)
    floor (0.739154815673828 × 131072)
    floor (96882.5)     		tx = 96882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774288177490234 × 217)
    floor (0.774288177490234 × 131072)
    floor (101487.5)     		ty = 101487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96882 / 101487 ti = "17/96882/101487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96882/101487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96882 ÷ 217
    96882 ÷ 131072     		x = 0.739151000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101487 ÷ 217
    101487 ÷ 131072     		y = 0.774284362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.739151000976562 × 2 - 1) × π
    0.478302001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.50263006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774284362792969 × 2 - 1) × π
    -0.548568725585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.72337947824064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50263006} λ = 1.50263006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72337947824064))-π/2
    2×atan(0.178462019155956)-π/2
    2×0.176602825655314-π/2
    0.353205651310628-1.57079632675     		φ = -1.21759068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50263006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.094361°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21759068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.762807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96882 KachelY 101487 1.50263006 -1.21759068 86.094361 -69.762807
    Oben rechts KachelX + 1 96883 KachelY 101487 1.50267799 -1.21759068 86.097107 -69.762807
    Unten links KachelX 96882 KachelY + 1 101488 1.50263006 -1.21760726 86.094361 -69.763757
    Unten rechts KachelX + 1 96883 KachelY + 1 101488 1.50267799 -1.21760726 86.097107 -69.763757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21759068--1.21760726) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dl = 105.631180000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21759068--1.21760726) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dr = 105.631180000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50263006-1.50267799) × cos(-1.21759068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345907337587365 × 6371000     		do = 105.626966797638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50263006-1.50267799) × cos(-1.21760726) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.345891781045125 × 6371000     		du = 105.622216420319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21759068)-sin(-1.21760726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345907337587365-0.345891781045125)×R²
    abs(1.50267799-1.50263006)×1.55565422398363e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.55565422398363e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.55565422398363e-05×40589641000000     		ar = 11157.2502489139m²