Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96851 / 101597
↖ ↑ ↗
← S 69.867056°
E 86.009216°		 ← 105.13 m → S 69.867056°
E 86.011963°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.868001°
E 86.009216°		 ← 105.12 m →
11 051 m²		 S 69.868001°
E 86.011963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738918304443359 y=0.775127410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738918304443359 × 217)
    floor (0.738918304443359 × 131072)
    floor (96851.5)     		tx = 96851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775127410888672 × 217)
    floor (0.775127410888672 × 131072)
    floor (101597.5)     		ty = 101597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96851 / 101597 ti = "17/96851/101597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96851/101597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96851 ÷ 217
    96851 ÷ 131072     		x = 0.738914489746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101597 ÷ 217
    101597 ÷ 131072     		y = 0.775123596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.738914489746094 × 2 - 1) × π
    0.477828979492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.50114401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775123596191406 × 2 - 1) × π
    -0.550247192382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.72865253719885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50114401} λ = 1.50114401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72865253719885))-π/2
    2×atan(0.177523455133601)-π/2
    2×0.175693083606455-π/2
    0.35138616721291-1.57079632675     		φ = -1.21941016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50114401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 86.009216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21941016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.867056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96851 KachelY 101597 1.50114401 -1.21941016 86.009216 -69.867056
    Oben rechts KachelX + 1 96852 KachelY 101597 1.50119195 -1.21941016 86.011963 -69.867056
    Unten links KachelX 96851 KachelY + 1 101598 1.50114401 -1.21942666 86.009216 -69.868001
    Unten rechts KachelX + 1 96852 KachelY + 1 101598 1.50119195 -1.21942666 86.011963 -69.868001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21941016--1.21942666) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21941016--1.21942666) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50114401-1.50119195) × cos(-1.21941016) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344199604869155 × 6371000     		do = 105.1274190248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50114401-1.50119195) × cos(-1.21942666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344184113030101 × 6371000     		du = 105.122687418393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21941016)-sin(-1.21942666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344199604869155-0.344184113030101)×R²
    abs(1.50119195-1.50114401)×1.54918390534164e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54918390534164e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54918390534164e-05×40589641000000     		ar = 11050.9032823608m²