Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96837 / 101595
↖ ↑ ↗
← S 69.865165°
E 85.970764°		 ← 105.11 m → S 69.865165°
E 85.973511°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.866110°
E 85.970764°		 ← 105.11 m →
11 050 m²		 S 69.866110°
E 85.973511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738811492919922 y=0.775112152099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738811492919922 × 217)
    floor (0.738811492919922 × 131072)
    floor (96837.5)     		tx = 96837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775112152099609 × 217)
    floor (0.775112152099609 × 131072)
    floor (101595.5)     		ty = 101595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96837 / 101595 ti = "17/96837/101595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96837/101595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96837 ÷ 217
    96837 ÷ 131072     		x = 0.738807678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101595 ÷ 217
    101595 ÷ 131072     		y = 0.775108337402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.738807678222656 × 2 - 1) × π
    0.477615356445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.50047290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775108337402344 × 2 - 1) × π
    -0.550216674804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.7285566633996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50047290} λ = 1.50047290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7285566633996))-π/2
    2×atan(0.177540475797604)-π/2
    2×0.175709584211023-π/2
    0.351419168422047-1.57079632675     		φ = -1.21937716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50047290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.970764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21937716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.865165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96837 KachelY 101595 1.50047290 -1.21937716 85.970764 -69.865165
    Oben rechts KachelX + 1 96838 KachelY 101595 1.50052083 -1.21937716 85.973511 -69.865165
    Unten links KachelX 96837 KachelY + 1 101596 1.50047290 -1.21939366 85.970764 -69.866110
    Unten rechts KachelX + 1 96838 KachelY + 1 101596 1.50052083 -1.21939366 85.973511 -69.866110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21937716--1.21939366) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dl = 105.121499999133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21937716--1.21939366) × R
    1.64999999998638e-05 × 6371000     		dr = 105.121499999133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50047290-1.50052083) × cos(-1.21937716) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.344230588266132 × 6371000     		do = 105.114951220618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50047290-1.50052083) × cos(-1.21939366) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.3442150966145 × 6371000     		du = 105.110220658427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21937716)-sin(-1.21939366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344230588266132-0.3442150966145)×R²
    abs(1.50052083-1.50047290)×1.54916516322823e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.54916516322823e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.54916516322823e-05×40589641000000     		ar = 11049.592703006m²