Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9683 / 7282
↖ ↑ ↗
← N 19.601194°
E 32.761231°		 ← 2 301.63 m → N 19.601194°
E 32.783203°		 →
↑
2 301.84 m
↓
↑
2 301.84 m
↓
N 19.580493°
E 32.761231°		 ← 2 301.93 m →
5 298 334 m²		 N 19.580493°
E 32.783203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.591033935546875 y=0.444488525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.591033935546875 × 214)
    floor (0.591033935546875 × 16384)
    floor (9683.5)     		tx = 9683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444488525390625 × 214)
    floor (0.444488525390625 × 16384)
    floor (7282.5)     		ty = 7282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9683 / 7282 ti = "14/9683/7282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9683/7282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9683 ÷ 214
    9683 ÷ 16384     		x = 0.59100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7282 ÷ 214
    7282 ÷ 16384     		y = 0.4444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59100341796875 × 2 - 1) × π
    0.1820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.57179134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4444580078125 × 2 - 1) × π
    0.111083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.348980629234009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57179134} λ = 0.57179134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348980629234009))-π/2
    2×atan(1.41762172965723)-π/2
    2×0.956450851111115-π/2
    1.91290170222223-1.57079632675     		φ = 0.34210538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57179134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.761231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34210538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.601194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9683 KachelY 7282 0.57179134 0.34210538 32.761231 19.601194
    Oben rechts KachelX + 1 9684 KachelY 7282 0.57217483 0.34210538 32.783203 19.601194
    Unten links KachelX 9683 KachelY + 1 7283 0.57179134 0.34174408 32.761231 19.580493
    Unten rechts KachelX + 1 9684 KachelY + 1 7283 0.57217483 0.34174408 32.783203 19.580493
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34210538-0.34174408) × R
    0.000361300000000009 × 6371000     		dl = 2301.84230000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34210538-0.34174408) × R
    0.000361300000000009 × 6371000     		dr = 2301.84230000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57179134-0.57217483) × cos(0.34210538) × R
    0.000383490000000042 × 0.942050459554847 × 6371000     		do = 2301.63161571095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57179134-0.57217483) × cos(0.34174408) × R
    0.000383490000000042 × 0.942171603813253 × 6371000     		du = 2301.92759715481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34210538)-sin(0.34174408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942050459554847-0.942171603813253)×R²
    abs(0.57217483-0.57179134)×0.000121144258406258×R²
    0.000383490000000042×0.000121144258406258×6371000²
    0.000383490000000042×0.000121144258406258×40589641000000     		ar = 5298333.72100047m²