Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96829 / 101459
↖ ↑ ↗
← S 69.736188°
E 85.948792°		 ← 105.78 m → S 69.736188°
E 85.951538°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
S 69.737140°
E 85.948792°		 ← 105.78 m →
11 194 m²		 S 69.737140°
E 85.951538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.738750457763672 y=0.774074554443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.738750457763672 × 217)
    floor (0.738750457763672 × 131072)
    floor (96829.5)     		tx = 96829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774074554443359 × 217)
    floor (0.774074554443359 × 131072)
    floor (101459.5)     		ty = 101459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96829 / 101459 ti = "17/96829/101459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96829/101459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96829 ÷ 217
    96829 ÷ 131072     		x = 0.738746643066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101459 ÷ 217
    101459 ÷ 131072     		y = 0.774070739746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.738746643066406 × 2 - 1) × π
    0.477493286132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.50008940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774070739746094 × 2 - 1) × π
    -0.548141479492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.72203724505128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.50008940} λ = 1.50008940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72203724505128))-π/2
    2×atan(0.178701717630746)-π/2
    2×0.176835116043981-π/2
    0.353670232087961-1.57079632675     		φ = -1.21712609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.50008940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.948792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21712609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.736188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96829 KachelY 101459 1.50008940 -1.21712609 85.948792 -69.736188
    Oben rechts KachelX + 1 96830 KachelY 101459 1.50013734 -1.21712609 85.951538 -69.736188
    Unten links KachelX 96829 KachelY + 1 101460 1.50008940 -1.21714270 85.948792 -69.737140
    Unten rechts KachelX + 1 96830 KachelY + 1 101460 1.50013734 -1.21714270 85.951538 -69.737140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21712609--1.21714270) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21712609--1.21714270) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.50008940-1.50013734) × cos(-1.21712609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346343210486225 × 6371000     		do = 105.782131356662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.50008940-1.50013734) × cos(-1.21714270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346327628466686 × 6371000     		du = 105.777372206813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21712609)-sin(-1.21714270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346343210486225-0.346327628466686)×R²
    abs(1.50013734-1.50008940)×1.558201953894e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.558201953894e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.558201953894e-05×40589641000000     		ar = 11193.8576850248m²